Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){\prime} \cos \left(1 / n^{2}\right)
\sum_{n=1}{\infty}(-1){\prime} \cos \left(1 / n^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede testar se a série
converge ou diverge. Vou assumir que o expoente mal escrito representa o índice
, isto é que a série é
.
As informações relevantes são:
converge ou diverge. Vou assumir que o expoente mal escrito
As informações relevantes são:
- o termo geral da série é
; - a pergunta é apenas: a série converge ou diverge?
Passo 2
Regra básica (teste da terminação/necessidade): se uma série
converge, então necessariamente
.
Explicando de forma simples: se as somas parciais têm limite finito quando
, então a diferença entre somas sucessivas
deve tender a zero. Portanto, antes de aplicar qualquer outro teste, sempre verifique se
. Se não tender a zero, a série diverge imediatamente.
Explicando de forma simples: se as somas parciais
Passo 3
Calcular o limite do fator não oscilante
.
Como a função é contínua em
, tem-se
Como a função
Uma maneira alternativa e intuitiva (não necessária, mas útil) é usar a expansão de Taylor para pequeno
:
logo para
obtemos
Passo 4
Analisar o limite do termo geral
.
Como , para
grande temos
muito próximo de
. Assim os termos
se comportam como
. Mais formalmente, observando subsequências:
Como
- para
par (por exemplo ) tem-se
- para
ímpar (por exemplo ) tem-se
Portanto
não existe; em particular não é
. Pelo teste da terminação, isso já basta para concluir que a série diverge.
Passo 5
Comentário sobre convergência absoluta e condicional (para fixar a ideia):
- Os valores absolutos são
, logo também não tendem a zero. Assim a série dos módulos também diverge (mesmo motivo: termos não tendem a zero). - Como nem mesmo os termos originais tendem a zero, não há convergência condicional: a série não converge de nenhuma forma.
Resposta
A série diverge.