Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){\prime} \cos \left(1 / n^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede testar se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\prime}\cos\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)
converge ou diverge. Vou assumir que o expoente mal escrito ' representa o índice n, isto é que a série é
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cos\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
As informações relevantes são:
  • o termo geral da série é \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\cos\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right);
  • a pergunta é apenas: a série converge ou diverge?

Passo 2

Regra básica (teste da terminação/necessidade): se uma série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge, então necessariamente
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Explicando de forma simples: se as somas parciais \displaystyle S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n} têm limite finito quando N\to\infty, então a diferença entre somas sucessivas S_{N}-S_{N-1}=a_{N} deve tender a zero. Portanto, antes de aplicar qualquer outro teste, sempre verifique se a_{n}\to0. Se não tender a zero, a série diverge imediatamente.

Passo 3

Calcular o limite do fator não oscilante \cos\!\left(\tfrac{1}{n^{2}}\right).
Como a função \cos(x) é contínua em x=0, tem-se
\lim_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)=\cos(0)=1.
Uma maneira alternativa e intuitiva (não necessária, mas útil) é usar a expansão de Taylor para pequeno x:
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}),
logo para x=\tfrac{1}{n^{2}} obtemos
\cos\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)=1-\frac{1}{2n^{4}}+O\!\left(\frac{1}{n^{8}}\right)\to1.

Passo 4

Analisar o limite do termo geral a_{n}=(-1)^{n}\cos\!\left(\tfrac{1}{n^{2}}\right).
Como \cos\!\left(\tfrac{1}{n^{2}}\right)\to1, para n grande temos \cos\!\left(\tfrac{1}{n^{2}}\right) muito próximo de 1. Assim os termos a_{n} se comportam como a_{n}\approx(-1)^{n}. Mais formalmente, observando subsequências:
  • para n par (por exemplo n=2k) tem-se
a_{2k}=(-1)^{2k}\cos\!\left(\frac{1}{(2k)^{2}}\right)=+\cos\!\left(\frac{1}{(2k)^{2}}\right)\to+1;
  • para n ímpar (por exemplo n=2k+1) tem-se
a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}\cos\!\left(\frac{1}{(2k+1)^{2}}\right)=-\cos\!\left(\frac{1}{(2k+1)^{2}}\right)\to-1.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} não existe; em particular não é 0. Pelo teste da terminação, isso já basta para concluir que a série diverge.

Passo 5

Comentário sobre convergência absoluta e condicional (para fixar a ideia):
  • Os valores absolutos são \displaystyle |a_{n}|=\cos\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\to1, logo também não tendem a zero. Assim a série dos módulos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| também diverge (mesmo motivo: termos não tendem a zero).
  • Como nem mesmo os termos originais tendem a zero, não há convergência condicional: a série não converge de nenhuma forma.

Resposta

A série diverge.

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