Utilizando a regra dos retângulos, Calcule
. Considere 4 subintervalos e 6 casas decimais.
(a) 0,589049
(b) 0,587101
(c) 0,588038
(d) 0,591362
(e) Não sei
(a) 0,589049
(b) 0,587101
(c) 0,588038
(d) 0,591362
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a regra dos retângulos com
subintervalos e apresentar o resultado com
casas decimais. Dados importantes extraídos do enunciado:
- Intervalo de integração:
. - Função a integrar:
. - Método pedido: regra dos retângulos (devemos escolher uma variante: esquerda, direita ou pontos-médios).
- Número de subintervalos:
. - Precisão:
casas decimais. - Alternativas fornecidas: (a)
, (b) , (c) , (d) , (e) Não sei.
Passo 2
Decidindo a variante da regra dos retângulos e explicando a fórmula (aulas rápidas).
A regra dos retângulos tem três variantes comuns:
A regra dos retângulos tem três variantes comuns:
- retângulos à esquerda: usa
, - retângulos à direita: usa
, - regra do ponto-médio: usa o ponto médio de cada subintervalo (mais precisa em muitos casos).
Vou escolher a regra dos pontos-médios (midpoint rule). Justificativa: é ainda uma “regra dos retângulos” (cada subintervalo é aproximado por um retângulo), mas avalia
no ponto médio de cada subintervalo; isso costuma dar maior precisão e, neste caso, aproveita simetrias trigonométricas que vão tornar a soma exata. A fórmula do ponto-médio com
subintervalos é
onde
e
é o ponto médio do
-ésimo subintervalo.
Passo 3
Calcular
e os pontos-médios.
O intervalo é e
. Então
O intervalo é
Os pontos-médios são
Ou seja,
Passo 4
Simplificar
com identidades trigonométricas (mini-aula).
Primeiro use . Então
Primeiro use
Agora use
. Substituindo:
Finalmente:
Explicação das letras: aqui
é o ângulo em radianos; os coeficientes são números reais fixos obtidos pelas identidades.
Passo 5
Avaliar
usando a forma acima e explorar simetrias.
Para cada ponto-médio precisamos de
e
. Note que, com
,
Para cada ponto-médio
Os valores
nesses ângulos são ângulos bem conhecidos na circunferência:
e
Agora aplique a fórmula de
em cada
. Em vez de calcular cada termo numericamente, observe as simetrias:
porque os primeiros dois são os opostos dos últimos dois em soma (simetria no círculo).
De maneira análoga,
De maneira análoga,
Portanto, somando os valores
com a expressão da Passo 4:
Esse é um ponto importante: por simetria trigonométrica a soma dos quatro valores médios dá exatamente
.
Passo 6
Calcular a aproximação pelo ponto-médio e o valor numérico final com 6 casas decimais.
Usando a fórmula do ponto-médio:
Usando a fórmula do ponto-médio:
Convertendo para decimal:
Arredondando para
casas decimais obtemos
.
Comentário amigável: olha que curioso — com a escolha dos pontos-médios e as identidades trigonométricas a aproximação pela regra dos retângulos (pontos-médios) ficou exatamente igual à forma fechada
, então o arredondamento é direto.
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas:
(a) é exatamente o valor arredondado a
casas decimais que obtivemos. Portanto a alternativa correta é (a).
(a)
Resposta
(a)