Utilizando a regra dos retângulos, Calcule \int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{4} x d x. Considere 4 subintervalos e 6 casas decimais.
(a) 0,589049
(b) 0,587101
(c) 0,588038
(d) 0,591362
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}x\,dx
usando a regra dos retângulos com 4 subintervalos e apresentar o resultado com 6 casas decimais. Dados importantes extraídos do enunciado:
  1. Intervalo de integração: [0,\pi/2].
  2. Função a integrar: f(x)=\sin^{4}x.
  3. Método pedido: regra dos retângulos (devemos escolher uma variante: esquerda, direita ou pontos-médios).
  4. Número de subintervalos: n=4.
  5. Precisão: 6 casas decimais.
  6. Alternativas fornecidas: (a) 0,589049, (b) 0,587101, (c) 0,588038, (d) 0,591362, (e) Não sei.

Passo 2

Decidindo a variante da regra dos retângulos e explicando a fórmula (aulas rápidas).
A regra dos retângulos tem três variantes comuns:
  • retângulos à esquerda: usa x_{i-1},
  • retângulos à direita: usa x_i,
  • regra do ponto-médio: usa o ponto médio de cada subintervalo (mais precisa em muitos casos).
Vou escolher a regra dos pontos-médios (midpoint rule). Justificativa: é ainda uma “regra dos retângulos” (cada subintervalo é aproximado por um retângulo), mas avalia f no ponto médio de cada subintervalo; isso costuma dar maior precisão e, neste caso, aproveita simetrias trigonométricas que vão tornar a soma exata. A fórmula do ponto-médio com n subintervalos é
M_n = h\sum_{i=1}^{n} f\big(\bar{x}_i\big),
onde h=\dfrac{b-a}{n} e \bar{x}_i é o ponto médio do i-ésimo subintervalo.

Passo 3

Calcular h e os pontos-médios.
O intervalo é [0,\pi/2] e n=4. Então
h=\frac{\pi/2-0}{4}=\frac{\pi}{8}.
Os pontos-médios são
\bar{x}_i = a + \left(i-\tfrac12\right)h = \left(2i-1\right)\frac{\pi}{16}, \qquad i=1,2,3,4.
Ou seja,
\bar{x}_1=\frac{\pi}{16},\quad \bar{x}_2=\frac{3\pi}{16},\quad \bar{x}_3=\frac{5\pi}{16},\quad \bar{x}_4=\frac{7\pi}{16}.

Passo 4

Simplificar f(x)=\sin^{4}x com identidades trigonométricas (mini-aula).
Primeiro use \sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}. Então
\sin^{4}x = (\sin^2 x)^2 = \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1-2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}.
Agora use \cos^2 2x = \dfrac{1+\cos 4x}{2}. Substituindo:
\sin^{4}x = \frac{1-2\cos 2x + \frac{1+\cos 4x}{2}}{4} = \frac{\tfrac{3}{2} - 2\cos 2x + \tfrac{1}{2}\cos 4x}{4}.
Finalmente:
\boxed{\;\sin^{4}x = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\; }.
Explicação das letras: aqui x é o ângulo em radianos; os coeficientes são números reais fixos obtidos pelas identidades.

Passo 5

Avaliar f(\bar{x}_i) usando a forma acima e explorar simetrias.
Para cada ponto-médio \bar{x}_i precisamos de \cos(2\bar{x}_i) e \cos(4\bar{x}_i). Note que, com \bar{x}_i=(2i-1)\pi/16,
2\bar{x}_i=(2i-1)\frac{\pi}{8},\qquad 4\bar{x}_i=(2i-1)\frac{\pi}{4}.
Os valores \cos nesses ângulos são ângulos bem conhecidos na circunferência:
\begin{aligned} \cos\frac{\pi}{8}&\approx 0,9238795325, & \cos\frac{3\pi}{8}&\approx 0,3826834324,\\\ \cos\frac{5\pi}{8}&\approx -0,3826834324, & \cos\frac{7\pi}{8}&\approx -0,9238795325, \end{aligned}
e
\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071067812,\qquad \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora aplique a fórmula de \sin^4 x em cada \bar{x}_i. Em vez de calcular cada termo numericamente, observe as simetrias:
\sum_{i=1}^{4}\cos\big(2\bar{x}_i\big) =\cos\frac{\pi}{8}+\cos\frac{3\pi}{8}+\cos\frac{5\pi}{8}+\cos\frac{7\pi}{8}=0,
porque os primeiros dois são os opostos dos últimos dois em soma (simetria no círculo).
De maneira análoga,
\sum_{i=1}^{4}\cos\big(4\bar{x}_i\big) =\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{3\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{7\pi}{4}=0.
Portanto, somando os valores f(\bar{x}_i) com a expressão da Passo 4:
\sum_{i=1}^{4} f(\bar{x}_i) = \sum_{i=1}^{4}\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2\bar{x}_i+\frac{1}{8}\cos 4\bar{x}_i\right) =4\cdot\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cdot 0 + \frac{1}{8}\cdot 0 =\frac{3}{2}.
Esse é um ponto importante: por simetria trigonométrica a soma dos quatro valores médios dá exatamente \tfrac{3}{2}.

Passo 6

Calcular a aproximação pelo ponto-médio e o valor numérico final com 6 casas decimais.
Usando a fórmula do ponto-médio:
M_4 = h\sum_{i=1}^4 f(\bar{x}_i) = \frac{\pi}{8}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3\pi}{16}.
Convertendo para decimal:
\frac{3\pi}{16}\approx 0{,}5890486225480869\ldots
Arredondando para 6 casas decimais obtemos 0{,}589049.
Comentário amigável: olha que curioso — com a escolha dos pontos-médios e as identidades trigonométricas a aproximação pela regra dos retângulos (pontos-médios) ficou exatamente igual à forma fechada \tfrac{3\pi}{16}, então o arredondamento é direto.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas:
(a) 0{,}589049 é exatamente o valor arredondado a 6 casas decimais que obtivemos. Portanto a alternativa correta é (a).

Resposta

(a) 0,589049

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