Determine o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula ao longo da curva
, nos seguintes casos:
obtida como intersecção das superficies
e
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula ao longo da curva
, onde:
-
. -
é a curva dada pela intersecção das superfícies e . - A orientação de
é no sentido anti-horário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva
é fechada (interseção de duas superfícies que here geram um círculo). - O trabalho corresponde à integral de linha fechada
. - A componente em
de é zero, o que simplifica a integral.
Passo 2
Simplificar a equação no plano
da curva:
completa-se o quadrado em
:
Portanto, a projeção de
no plano
é o círculo centrado em
com raio
. Como
, a curva
é a “elevação” desse círculo para
; em particular a projeção no plano
é simples e a orientação anti-horária em
corresponde à orientação anti-horária do contorno projetado.
Passo 3
Escrever o trabalho como integral de linha:
Aqui usei a notação padrão: se
e
, então
. No nosso caso
e
.
Passo 4
Justificativa para usar o Teorema de Green (forma plana):
- A integral não depende de
, só de e . - A curva
projeta-se de forma simples no plano como o círculo com orientação positiva (anti-horária).
Pelo Teorema de Green, para a regiãointerior a :
Aqui
e
. Calcular as derivadas parciais:
Logo o integrando é
Passo 5
Aplicar a fórmula obtida:
A região
é o círculo de raio
, portanto
. Assim
Passo 6
Checagem alternativa por parametrização (opcional, para ver na prática como fazer na prova):
Parametrizar o círculo projetado por
Parametrizar o círculo projetado por
que descreve o círculo centrado em
de raio
no sentido anti-horário. Então
Calcular o integrando:
Agrupando:
Portanto
confirmando o resultado anterior.