Determine o trabalho realizado pela força F ao mover uma partícula ao longo da curva \gamma, nos seguintes casos:
F(x, y, z)=(-y, x, 0), \gamma obtida como intersecção das superficies z= \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} e x^{2}+y^{2}=2 y orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força F ao mover uma partícula ao longo da curva \gamma, onde:
  • F(x,y,z)=(-y,\,x,\,0).
  • \gamma é a curva dada pela intersecção das superfícies z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} e x^{2}+y^{2}=2y.
  • A orientação de \gamma é no sentido anti-horário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva \gamma é fechada (interseção de duas superfícies que here geram um círculo).
  • O trabalho corresponde à integral de linha fechada \displaystyle \oint_{\gamma} F\cdot d\mathbf{r}.
  • A componente em z de F é zero, o que simplifica a integral.

Passo 2

Simplificar a equação no plano xy da curva:
x^{2}+y^{2}=2y
completa-se o quadrado em y:
x^{2}+(y-1)^{2}=1.
Portanto, a projeção de \gamma no plano xy é o círculo centrado em (0,1) com raio 1. Como z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, a curva \gamma é a “elevação” desse círculo para z\ge0; em particular a projeção no plano xy é simples e a orientação anti-horária em \gamma corresponde à orientação anti-horária do contorno projetado.

Passo 3

Escrever o trabalho como integral de linha:
\oint_{\gamma} F\cdot d\mathbf{r} = \oint_{\gamma} \big(-y\,dx + x\,dy + 0\cdot dz\big) = \oint_{\gamma} \big(-y\,dx + x\,dy\big).
Aqui usei a notação padrão: se F=(P,Q,R) e \mathbf{r}=(x,y,z), então F\cdot d\mathbf{r}=P\,dx+Q\,dy+R\,dz. No nosso caso P=-y e Q=x.

Passo 4

Justificativa para usar o Teorema de Green (forma plana):
  • A integral não depende de dz, só de dx e dy.
  • A curva \gamma proje­ta-se de forma simples no plano xy como o círculo C:\\ x^{2}+(y-1)^{2}=1 com orientação positiva (anti-horária).
    Pelo Teorema de Green, para a região D interior a C:
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Aqui P=-y e Q=x. Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (-y)}{\partial y}=-1.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.

Passo 5

Aplicar a fórmula obtida:
\oint_{\gamma} (-y\,dx + x\,dy) = \iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{Área}(D).Á
A região D é o círculo de raio 1, portanto \text{Área}(D)=\piÁ. Assim
\oint_{\gamma} F\cdot d\mathbf{r}=2\pi.

Passo 6

Checagem alternativa por parametrização (opcional, para ver na prática como fazer na prova):
Parametrizar o círculo projetado por
x=\cos t,\qquad y=1+\sin t,\qquad t\in[0,2\pi],
que descreve o círculo centrado em (0,1) de raio 1 no sentido anti-horário. Então
dx=-\sin t\,dt,\qquad dy=\cos t\,dt.
Calcular o integrando:
-y\,dx + x\,dy = -(1+\sin t)(- \sin t\,dt) + \cos t\cdot \cos t\,dt = (1+\sin t)\sin t\,dt + \cos^{2}t\,dt.
Agrupando:
(1+\sin t)\sin t + \cos^{2}t = \sin t + \sin^{2}t + \cos^{2}t = \sin t + 1.
Portanto
\oint_{\gamma} F\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi} (1+\sin t)\,dt = \left[t -\cos t\right]_{0}^{2\pi}=2\pi,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\;2\pi

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