Determine o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula ao longo da curva
, nos seguintes casos:
e
sent, cost,
, \forall t \in[0,2 \pi] .
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Campo de forças:
. - Curva
com parametrização para . - O que se pede: calcular o trabalho realizado por
ao mover a partícula ao longo de , ou seja, calcular a integral de linha
Passo 2
Relembrando a definição prática que vou usar (aula rápida): se uma curva é parametrizada por
com
de
a
, então
onde
. Isso vem simplesmente de escrever
e fazer o produto escalar com
. Vou aplicar isso se necessário.
Passo 3
Antes de fazer a integral direta (que pode ficar meio feia), vale tentar verificar se
é o gradiente de alguma função escala
. Se existir
tal que
, então
é conservativo e a integral de linha depende só dos pontos iniciais e finais:
Porque isso reduz muito o trabalho, vou procurar
tal que
Passo 4
Procuro
integrando a primeira equação em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
(pois ao derivar em
desaparece).
Passo 5
Agora uso a segunda equação
. A partir da expressão obtida para
,
Comparando com a dada,
Integro isso em relação a
:
onde
é outra “constante” de integração (agora só pode depender de
).
Passo 6
Agora
. Uso a terceira condição
. Calculo
Comparando com a componente dada
, obtemos
. Logo
é constante; sem perda de generalidade posso tomar
. Assim uma potencial conveniente é
Passo 7
Concluímos que
, ou seja,
é conservativo. Portanto a integral de linha depende só dos pontos inicial e final da curva. Vou calcular
e
:
Passo 8
Avalio
nesses pontos. Lembre-se
.
- Em
: e , , então
- Em
: (pois também), , , então
Passo 9
Portanto o trabalho (a integral de linha) é a diferença: