Determine o trabalho realizado pela força F ao mover uma partícula ao longo da curva \gamma, nos seguintes casos:
F(x, y, z)=\left(y^{2} \cos x, 2 y \operatorname{sen} x+e^{2 z}, 2 y e^{2 z}\right), \gamma=C_{P} e P(t)=( sent, cost, t), \forall t \in[0,2 \pi] .

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Campo de forças: F(x,y,z)=\bigl(y^{2}\cos x,\;2y\sin x+e^{2z},\;2y e^{2z}\bigr).
  • Curva \gamma=C_{P} com parametrização P(t)=(\sin t,\;\cos t,\;t) para t\in[0,2\pi].
  • O que se pede: calcular o trabalho realizado por F ao mover a partícula ao longo de \gamma, ou seja, calcular a integral de linha
W=\int_{\gamma}F\cdot d\mathbf r.

Passo 2

Relembrando a definição prática que vou usar (aula rápida): se uma curva é parametrizada por P(t)=(x(t),y(t),z(t)) com t de a a b, então
\int_{\gamma}F\cdot d\mathbf r=\int_{a}^{b}F\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\cdot P'(t)\,dt,
onde P'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)). Isso vem simplesmente de escrever d\mathbf r=(dx,dy,dz)=(x'(t),y'(t),z'(t))dt e fazer o produto escalar com F. Vou aplicar isso se necessário.

Passo 3

Antes de fazer a integral direta (que pode ficar meio feia), vale tentar verificar se F é o gradiente de alguma função escala \varphi(x,y,z). Se existir \varphi tal que \nabla\varphi=F, então F é conservativo e a integral de linha depende só dos pontos iniciais e finais:
\int_{\gamma}F\cdot d\mathbf r=\varphi\bigl(P(2\pi)\bigr)-\varphi\bigl(P(0)\bigr).
Porque isso reduz muito o trabalho, vou procurar \varphi tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y^{2}\cos x,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=2y\sin x+e^{2z},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=2y e^{2z}.

Passo 4

Procuro \varphi integrando a primeira equação em relação a x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y^{2}\cos x \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z (pois ao derivar em x desaparece).

Passo 5

Agora uso a segunda equação \partial\varphi/\partial y=2y\sin x+e^{2z}. A partir da expressão obtida para \varphi,
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=2y\sin x + \frac{\partial g}{\partial y}.
Comparando com a dada,
2y\sin x + \frac{\partial g}{\partial y}=2y\sin x + e^{2z} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=e^{2z}.
Integro isso em relação a y:
g(y,z)=y e^{2z}+h(z),
onde h(z) é outra “constante” de integração (agora só pode depender de z).

Passo 6

Agora \varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + y e^{2z} + h(z). Uso a terceira condição \partial\varphi/\partial z=2y e^{2z}. Calculo
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=y\cdot 2 e^{2z} + h'(z)=2y e^{2z}+h'(z).
Comparando com a componente dada 2y e^{2z}, obtemos h'(z)=0. Logo h(z) é constante; sem perda de generalidade posso tomar h(z)=0. Assim uma potencial conveniente é
\varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + y e^{2z}.

Passo 7

Concluímos que F=\nabla\varphi, ou seja, F é conservativo. Portanto a integral de linha depende só dos pontos inicial e final da curva. Vou calcular P(0) e P(2\pi):
P(0)=(\sin 0,\cos 0,0)=(0,1,0), \qquad P(2\pi)=(\sin 2\pi,\cos 2\pi,2\pi)=(0,1,2\pi).

Passo 8

Avalio \varphi nesses pontos. Lembre-se \varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + y e^{2z}.
  • Em P(0): \sin x=\sin 0=0 e y=1, z=0, então
\varphi\bigl(P(0)\bigr)=1^{2}\cdot 0 + 1\cdot e^{0}=e^{0}=1.
  • Em P(2\pi): \sin x=\sin 0=0 (pois x=0 também), y=1, z=2\pi, então
\varphi\bigl(P(2\pi)\bigr)=1^{2}\cdot 0 + 1\cdot e^{2\cdot 2\pi}=e^{4\pi}.

Passo 9

Portanto o trabalho (a integral de linha) é a diferença:
W=\varphi\bigl(P(2\pi)\bigr)-\varphi\bigl(P(0)\bigr)=e^{4\pi}-1.

Resposta

e^{4\pi}-1

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