Determine o trabalho realizado pela força
que atua sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido anti-horário, as extremidades do triângulo de vértices
.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pela força
quando uma partícula percorre, uma vez e no sentido anti-horário, o contorno do triângulo de vértices
.\n
Informações dadas e objetivos claros:
Informações dadas e objetivos claros:
- A força é
. (Aqui escrevo as componentes como e .) - O caminho é o triângulo com vértices
, percorrido no sentido anti-horário (sentido positivo). - Queremos calcular o trabalho, isto é, a integral de linha fechada
, onde é o contorno do triângulo.
Passo 2
Escolha do método e explicação da ferramenta usada.\n
Como o caminho é uma curva fechada simples (um triângulo) e a região interna é uma região plana simples, é conveniente usar o Teorema de Green (também conhecido como Teorema de Green-Riemann) para transformar a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interior. Vou explicar o enunciado do teorema de forma didática:\n
Como o caminho é uma curva fechada simples (um triângulo) e a região interna é uma região plana simples, é conveniente usar o Teorema de Green (também conhecido como Teorema de Green-Riemann) para transformar a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interior. Vou explicar o enunciado do teorema de forma didática:\n
- Seja
uma curva fechada, simples e orientada positivamente (anti-horário) que limita uma região planar . Seja com e com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de . Então o Teorema de Green afirma:
- Interpretação: a circulação (ou trabalho) ao longo do contorno é igual à integral sobre a área da diferença entre a variação de
na direção e a variação de na direção .\n
Vou aplicar esse teorema porque simplifica muito: basta calcular as derivadas parciais, obter uma função a ser integrada sobre a região(o triângulo) e então calcular a integral dupla — e, no nosso caso, a função integrando será constante, o que deixa tudo bem direto.
Passo 3
Calcular
e
, e formar o integrando.\n
Temos e
.\n
Calcule as derivadas parciais:
Temos
Calcule as derivadas parciais:
Portanto o integrando do Teorema de Green é
Observação importante: o integrando é constante igual a
. Isso simplifica muito a integral dupla.
Passo 4
Determinar a área da região
(o triângulo) para calcular a integral dupla de uma função constante.\n
Desenho mental do triângulo pelos vértices: até
é um segmento horizontal de comprimento
;
até
é um segmento vertical de comprimento
. Assim temos um triângulo retângulo com catetos
e
(o ângulo reto está em
).\n
A área do triângulo é
Desenho mental do triângulo pelos vértices:
A área do triângulo é
(Se preferir, poderia usar a fórmula do determinante/gauss ou o teorema de Pick para confirmar; todos dão área igual a
.)
Passo 5
Avaliar a integral dupla usando que o integrando é constante.\n
Pelo Teorema de Green,
Pelo Teorema de Green,
Como
é constante, isso é
vezes a área de
:
Lembre-se que o Teorema de Green exige orientação anti-horária para usar a fórmula com o sinal como apresentei; o enunciado deu justamente essa orientação, então está tudo coerente.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, mas didática): calcular a integral de linha por partes parametrizando cada lado do triângulo e somar — serve para conferir o resultado.\n
Segmento : de
a
. Parametrização
. Então
.
Contribuição:
Segmento
Contribuição:
Segmento
: de
a
. Parametrização
. Então
.
Contribuição:
Contribuição:
Segmento
: de
a
. Parametrização linear
. Então
.
Calcule e
ao longo de
:
Calcule
Então a contribuição é
Somando as três contribuições:
, que confirma o resultado obtido via Green.
Resposta
-4