Calcule a integral de linha indicada sobre a curva dada.
\int_{C} 2 x y d x+\left(6 y^{2}-x z\right) d y+10 z d z, sendo C constituída pelos segmentos de reta da origem ao ponto (0,0,1), de (0,0,1) ao ponto (0,1,1) e de (0,1,1) a (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
\int_{C} 2 x y\, d x+\left(6 y^{2}-x z\right)\, d y+10 z\, d z
onde a curva C é formada por três segmentos de reta conectados, na ordem:
  1. da origem ao ponto (0,0,1),
  2. de (0,0,1) a (0,1,1),
  3. de (0,1,1) a (1,1,1).
Informações relevantes dadas:
  • A forma diferencial (ou campo) é dada pelos coeficientes P(x,y,z)=2xy, Q(x,y,z)=6y^{2}-xz e R(x,y,z)=10z.
  • A curva C é poligonal, com três segmentos paramétricos fáceis (um só varia z, depois só y, depois só x).
  • Preciso somar as contribuições da integral em cada segmento para obter o valor total.

Passo 2

Decisão do método (explicando de forma didática): como a curva é composta por segmentos de reta simples, o jeito mais direto e prático é parametrizar cada segmento separadamente e calcular a integral de linha por partes. Antes de parametrizar, faço uma verificação rápida se a forma é exata (isto é, se existiria um potencial e a integral seria path-independent). Isso serve para saber se posso só avaliar uma função potencial nos extremos — se fosse o caso, economizaria trabalho. Para testar isso eu comparo algumas derivadas parciais dos coeficientes (regra prática):
  • Calculo \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x. Se a forma fosse exata no espaço todo, teríamos \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.
  • Aqui
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(6y^{2}-xz)=-z.
Como 2x não é igual a -z em geral, a forma não é exata. Portanto a integral depende do caminho e preciso calcular cada segmento. Bom: isso confirma que parametrizar os segmentos é a forma correta e simples.

Passo 3

Segmento 1: da origem (0,0,0) até (0,0,1).
  • Parametrização natural: r_1(t)=(0,0,t), com t\in[0,1].
  • Então x(t)=0, y(t)=0, z(t)=t.
  • Diferenças: dx=0, dy=0, dz=d t.
  • Substituo na integranda:
    2xy\,dx=2\cdot 0\cdot 0\cdot 0=0,
    (6y^{2}-xz)\,dy=(6\cdot 0^{2}-0\cdot t)\cdot 0=0,
    10z\,dz=10 t\, d t.
  • Logo a integral sobre o segmento 1 é
\int_{C_1} \! 2xy\,dx+(6y^{2}-xz)\,dy+10z\,dz = \int_{0}^{1} 10 t\, d t.
  • Calculo a primitiva: \int 10 t\, dt=5 t^{2}. Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} 10 t\, d t = 5\cdot 1^{2}-5\cdot 0^{2}=5.

Passo 4

Segmento 2: de (0,0,1) até (0,1,1).
  • Parametrização natural: r_2(t)=(0,t,1), com t\in[0,1].
  • Então x(t)=0, y(t)=t, z(t)=1.
  • Diferenças: dx=0, dy=d t, dz=0.
  • Substituo na integranda:
    2xy\,dx=2\cdot 0\cdot t\cdot 0=0,
    (6y^{2}-xz)\,dy=(6 t^{2}-0\cdot 1)\, d t = 6 t^{2}\, d t,
    10z\,dz=10\cdot 1\cdot 0=0.
  • Logo a integral sobre o segmento 2 é
\int_{C_2} = \int_{0}^{1} 6 t^{2}\, d t.
  • Calculo a primitiva: \int 6 t^{2}\, d t = 2 t^{3}. Avaliando:
\int_{0}^{1} 6 t^{2}\, d t = 2\cdot 1^{3}-2\cdot 0^{3}=2.

Passo 5

Segmento 3: de (0,1,1) até (1,1,1).
  • Parametrização natural: r_3(t)=(t,1,1), com t\in[0,1].
  • Então x(t)=t, y(t)=1, z(t)=1.
  • Diferenças: dx=d t, dy=0, dz=0.
  • Substituo na integranda:
    2xy\,dx=2\cdot t\cdot 1\cdot d t = 2 t\, d t,
    (6y^{2}-xz)\,dy=0,
    10z\,dz=0.
  • Logo a integral sobre o segmento 3 é
\int_{C_3} = \int_{0}^{1} 2 t\, d t.
  • Calculo a primitiva: \int 2 t\, d t = t^{2}. Avaliando:
\int_{0}^{1} 2 t\, d t = 1^{2}-0^{2}=1.

Passo 6

Somando as contribuições dos três segmentos (porque a integral sobre a curva poligonal é a soma das integrais sobre cada pedaço):
  • Integral sobre C_1: 5.
  • Integral sobre C_2: 2.
  • Integral sobre C_3: 1.
Portanto o valor total é 5+2+1=8.

Resposta

8

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