Calcule a integral de linha indicada sobre a curva dada.
, sendo
constituída pelos segmentos de reta da origem ao ponto
, de
ao ponto
e de
a
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
onde a curva
é formada por três segmentos de reta conectados, na ordem:
- da origem ao ponto
, - de
a , - de
a .
Informações relevantes dadas:
- A forma diferencial (ou campo) é dada pelos coeficientes
, e . - A curva
é poligonal, com três segmentos paramétricos fáceis (um só varia , depois só , depois só ). - Preciso somar as contribuições da integral em cada segmento para obter o valor total.
Passo 2
Decisão do método (explicando de forma didática): como a curva é composta por segmentos de reta simples, o jeito mais direto e prático é parametrizar cada segmento separadamente e calcular a integral de linha por partes. Antes de parametrizar, faço uma verificação rápida se a forma é exata (isto é, se existiria um potencial e a integral seria path-independent). Isso serve para saber se posso só avaliar uma função potencial nos extremos — se fosse o caso, economizaria trabalho. Para testar isso eu comparo algumas derivadas parciais dos coeficientes (regra prática):
- Calculo
e . Se a forma fosse exata no espaço todo, teríamos . - Aqui
Como
não é igual a
em geral, a forma não é exata. Portanto a integral depende do caminho e preciso calcular cada segmento. Bom: isso confirma que parametrizar os segmentos é a forma correta e simples.
Passo 3
Segmento 1: da origem
até
.
- Parametrização natural:
, com . - Então
, , . - Diferenças:
, , . - Substituo na integranda:
,
,
. - Logo a integral sobre o segmento 1 é
- Calculo a primitiva:
. Avaliando de a :
Passo 4
Segmento 2: de
até
.
- Parametrização natural:
, com . - Então
, , . - Diferenças:
, , . - Substituo na integranda:
,
,
. - Logo a integral sobre o segmento 2 é
- Calculo a primitiva:
. Avaliando:
Passo 5
Segmento 3: de
até
.
- Parametrização natural:
, com . - Então
, , . - Diferenças:
, , . - Substituo na integranda:
,
,
. - Logo a integral sobre o segmento 3 é
- Calculo a primitiva:
. Avaliando:
Passo 6
Somando as contribuições dos três segmentos (porque a integral sobre a curva poligonal é a soma das integrais sobre cada pedaço):
- Integral sobre
: . - Integral sobre
: . - Integral sobre
: .
Portanto o valor total é
.
Resposta
8