4.1 Determine o trabalho realizado ao se mover uma carga de 10 C do infinito até a origem em um campo
.
Resp.:
Resp.:
Passo 1
O enunciado diz: temos um campo elétrico radial cuja componente é
em unidades de
. Uma carga de
é movida do infinito até a origem. O que precisamos determinar é o trabalho realizado nesse processo.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função do campo:
. - A carga:
. - O movimento: do ponto inicial
até o ponto final .
Pergunta: determinar o trabalho realizado ao mover a carga do infinito até a origem.
Passo 2
O que é trabalho aqui? Em eletrostática, a força elétrica sobre a carga é
. O trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar a carga ao longo de uma linha é
Mas existem duas quantidades úteis: o trabalho feito pelo campo (acima) e o trabalho feito por uma força externa que move a carga lentamente (quase em equilíbrio). Essas duas são opostas:
É importante escolher qual queremos. O enunciado pediu “o trabalho realizado ao se mover uma carga …”: muitas vezes isto refere-se ao trabalho que o agente externo precisa realizar para levar a carga do infinito até a origem (especialmente quando o resultado esperado é positivo). Vou calcular explicitamente o trabalho realizado pela força externa,
. Se você quiser o trabalho feito pelo campo, é só trocar o sinal no final.
Passo 3
Por simetria radial, ao mover a carga ao longo do eixo radial a partir de
até
temos
(direção radial). A componente escalar relevante é
. Assim podemos escrever
E, lembrando que
, obtemos
Uma manipulação conveniente é trocar os limites do integral e tirar o sinal:
Ou seja, basta calcular
e multiplicar por
.
Passo 4
Substituímos a expressão do campo dentro do integral. Assim
E então
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição conveniente
. Então
Os limites mudam assim: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo no integral:
Passo 6
Simplificando o fator constante:
Agora calculamos a primitiva. A primitiva de
é
. Portanto
Passo 7
Avaliaremos o limite:
e para
temos
. Então
Passo 8
Voltando ao trabalho do agente externo:
Interpretação física curta: o resultado positivo significa que a força externa fez
de trabalho para levar a carga positiva do infinito até a origem (isto é, teve que “trabalhar contra” o campo); o campo teria realizado
nesse mesmo movimento.