4.1 Determine o trabalho realizado ao se mover uma carga de 10 C do infinito até a origem em um campo \vec{E}_{r}=50 r /\left(r^{2}+1\right)^{2}[V / m].
Resp.: \omega=250 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado diz: temos um campo elétrico radial cuja componente é \vec{E}_{r}=\dfrac{50\,r}{(r^{2}+1)^{2}} em unidades de \mathrm{V/m}. Uma carga de 10\\ \mathrm{C} é movida do infinito até a origem. O que precisamos determinar é o trabalho realizado nesse processo.
Informações dadas:
  • A função do campo: \vec{E}_{r}=\dfrac{50\,r}{(r^{2}+1)^{2}} \mathrm{[V/m]}.
  • A carga: q=10\\ \mathrm{C}.
  • O movimento: do ponto inicial r=\infty até o ponto final r=0.
    Pergunta: determinar o trabalho realizado ao mover a carga do infinito até a origem.

Passo 2

O que é trabalho aqui? Em eletrostática, a força elétrica sobre a carga é \vec{F}=q\vec{E}. O trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar a carga ao longo de uma linha é
W_{\text{campo}}=\int_{\text{início}}^{\text{fim}}\vec{F}\cdot d\vec{\ell}=q\int_{\text{início}}^{\text{fim}}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}.íí
Mas existem duas quantidades úteis: o trabalho feito pelo campo (acima) e o trabalho feito por uma força externa que move a carga lentamente (quase em equilíbrio). Essas duas são opostas:
W_{\text{externo}}=-W_{\text{campo}}.
É importante escolher qual queremos. O enunciado pediu “o trabalho realizado ao se mover uma carga …”: muitas vezes isto refere-se ao trabalho que o agente externo precisa realizar para levar a carga do infinito até a origem (especialmente quando o resultado esperado é positivo). Vou calcular explicitamente o trabalho realizado pela força externa, W_{\text{externo}}. Se você quiser o trabalho feito pelo campo, é só trocar o sinal no final.

Passo 3

Por simetria radial, ao mover a carga ao longo do eixo radial a partir de r=\infty até r=0 temos d\vec{\ell}=dr\,\hat{r} (direção radial). A componente escalar relevante é \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=E_{r}\,dr. Assim podemos escrever
W_{\text{campo}}=q\int_{\infty}^{0} E_{r}(r)\,dr.
E, lembrando que W_{\text{externo}}=-W_{\text{campo}}, obtemos
W_{\text{externo}}=-q\int_{\infty}^{0} E_{r}(r)\,dr.
Uma manipulação conveniente é trocar os limites do integral e tirar o sinal:
W_{\text{externo}}=q\int_{0}^{\infty} E_{r}(r)\,dr.
Ou seja, basta calcular I=\int_{0}^{\infty}E_{r}(r)\,dr e multiplicar por q.

Passo 4

Substituímos a expressão do campo dentro do integral. Assim
I=\int_{0}^{\infty}\dfrac{50\,r}{(r^{2}+1)^{2}}\,dr.
E então
W_{\text{externo}}=q\,I.

Passo 5

Para calcular I fazemos a substituição conveniente u=r^{2}+1. Então
du=2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\dfrac{du}{2}.
Os limites mudam assim: quando r=0 temos u=1; quando r\to\infty temos u\to\infty. Substituindo no integral:
I=50\int_{r=0}^{r=\infty}\dfrac{r\,dr}{(r^{2}+1)^{2}} =50\int_{u=1}^{u=\infty}\dfrac{1}{u^{2}}\cdot\dfrac{du}{2}.

Passo 6

Simplificando o fator constante:
I=25\int_{1}^{\infty}u^{-2}\,du.
Agora calculamos a primitiva. A primitiva de u^{-2} é -u^{-1}. Portanto
I=25\left[-u^{-1}\right]_{1}^{\infty}.

Passo 7

Avaliaremos o limite:
\lim_{u\to\infty}(-u^{-1})=0,
e para u=1 temos -1. Então
I=25\bigl(0-(-1)\bigr)=25\cdot 1=25.

Passo 8

Voltando ao trabalho do agente externo:
W_{\text{externo}}=q\cdot I=10\cdot 25=250\\ \mathrm{J}.
Interpretação física curta: o resultado positivo significa que a força externa fez 250\\ \mathrm{J} de trabalho para levar a carga positiva do infinito até a origem (isto é, teve que “trabalhar contra” o campo); o campo teria realizado -250\\ \mathrm{J} nesse mesmo movimento.

Resposta

\omega=250\\ \mathrm{J}

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