Use a Lei de Gauss para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto
para as seguintes distribuições de carga:
Linha infinita de carga (uniformemente carregada) sobre o eixo z com densidade linear de carga
constante;
Linha infinita de carga (uniformemente carregada) sobre o eixo z com densidade linear de carga
Passo 1
O enunciado pede: determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto
para uma linha infinita de carga, colocada ao longo do eixo
, com densidade linear de carga constante
.\n
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A carga está distribuída ao longo do eixo
(linha infinita); - A densidade linear de carga é
(constante ao longo da linha); - Queremos o vetor densidade de fluxo elétrico
em um ponto localizado a uma distância radial do eixo .\n
O que precisamos entregar: uma expressão paraem função de (e na direção correta).
Passo 2
Apresentando a Lei de Gauss (na forma que usamos para
) e explicando cada termo.\n
A Lei de Gauss para o deslocamento elétrico diz que o fluxo total de
através de uma superfície fechada
é igual à carga livre contida no volume
limitado por
. Em forma integral:
A Lei de Gauss para o deslocamento elétrico
Explicando os termos:
-
é o vetor densidade de fluxo elétrico que queremos encontrar; -
é o vetor área elemento da superfície (módulo igual à área do elemento, direção normal para fora); -
é a carga livre total dentro da superfície fechada.\n
Essa lei é poderosa quando há simetria: com simetria adequada escolhemos uma superfície para queseja facilmente integrável.
Passo 3
Escolha da superfície de Gauss e argumento de simetria.\n
Pela simetria do problema (linha infinita ao longo de ): ao afastar-se da linha, nada muda se girarmos em torno do eixo
ou se deslocarmos ao longo de
. Portanto:
Pela simetria do problema (linha infinita ao longo de
-
só pode depender da distância radial ao eixo ; -
deve apontar na direção radial (ou seja, ao longo de ): não pode ter componente azimutal nem componente ao longo de .\n
Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro circular coaxial com a linha de raioe comprimento . Essa superfície tem três partes: a superfície lateral curva e duas tampas (bases) planas. Vantagens: é normal e constante na superfície lateral; nas tampas é ortogonal à normal, então não contribuem para o fluxo.
Passo 4
Calcular o fluxo de
através da superfície de Gauss.\n
Na superfície lateral do cilindro, o vetor área elementar é (ou simplesmente a área total da lateral é
com direção
). Como
é radial e constante em módulo sobre a superfície lateral (mesmo
e mesma simetria), o fluxo através da lateral é:
Na superfície lateral do cilindro, o vetor área elementar é
onde
é o módulo de
em distância
.\n
Nas tampas (superfícies planas nas extremidades do cilindro) o vetor área é paralelo ao eixo (ou seja,
), enquanto
é radial, então
e essas tampas não contribuem para o fluxo total.
Nas tampas (superfícies planas nas extremidades do cilindro) o vetor área é paralelo ao eixo
Passo 5
Calcular a carga encerrada pela superfície de Gauss.\n
A carga livre total contida no cilindro é simplesmente a densidade linear multiplicada pelo comprimento:
A carga livre total contida no cilindro é simplesmente a densidade linear multiplicada pelo comprimento:
(Explicando:
tem unidades de carga por comprimento, então ao multiplicar por
obtemos carga.)
Passo 6
Aplicar a Lei de Gauss e resolver para
.\n
Pela Lei de Gauss temos:
Pela Lei de Gauss temos:
Substituindo o fluxo calculado e a carga encerrada:
Cancelamos
(válido para qualquer comprimento escolhido) e isolamos
:
Aqui
é o módulo do vetor
a uma distância radial
do eixo.
Passo 7
Dar a forma vetorial final, discutir direção e validade.\n
Como concluímos na simetria, é radial. Portanto a forma vetorial é:
Como concluímos na simetria,
Observações importantes:
- A direção
é o vetor unitário que aponta radialmente para fora do eixo . Se então aponta para fora; se aponta para dentro (sinal capturado em ).\n - Esta expressão vale para
. No eixo ( ) há singularidade (campo infinito) porque a carga está idealizada como uma linha infinita de carga concentrada no eixo.\n - Se você precisar do campo elétrico
em um meio com permissividade , lembre que , logo . No vácuo , então