Use a Lei de Gauss para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P para as seguintes distribuições de carga:
Linha infinita de carga (uniformemente carregada) sobre o eixo z com densidade linear de carga \rho_{L} constante;

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P para uma linha infinita de carga, colocada ao longo do eixo z, com densidade linear de carga constante \rho_{L}.\n
Informações dadas que vamos usar:
  • A carga está distribuída ao longo do eixo z (linha infinita);
  • A densidade linear de carga é \rho_{L} (constante ao longo da linha);
  • Queremos o vetor densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} em um ponto P localizado a uma distância radial r do eixo z.\n
    O que precisamos entregar: uma expressão para \mathbf{D} em função de r (e na direção correta).

Passo 2

Apresentando a Lei de Gauss (na forma que usamos para \mathbf{D}) e explicando cada termo.\n
A Lei de Gauss para o deslocamento elétrico \mathbf{D} diz que o fluxo total de \mathbf{D} através de uma superfície fechada S é igual à carga livre contida no volume V limitado por S. Em forma integral:
\oint_{S} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{livre,\,enc}}.
Explicando os termos:
  • \mathbf{D} é o vetor densidade de fluxo elétrico que queremos encontrar;
  • d\mathbf{A} é o vetor área elemento da superfície S (módulo igual à área do elemento, direção normal para fora);
  • Q_{\text{livre,\,enc}} é a carga livre total dentro da superfície fechada.\n
    Essa lei é poderosa quando há simetria: com simetria adequada escolhemos uma superfície para que \mathbf{D} seja facilmente integrável.

Passo 3

Escolha da superfície de Gauss e argumento de simetria.\n
Pela simetria do problema (linha infinita ao longo de z): ao afastar-se da linha, nada muda se girarmos em torno do eixo z ou se deslocarmos ao longo de z. Portanto:
  • \mathbf{D} só pode depender da distância radial r ao eixo z;
  • \mathbf{D} deve apontar na direção radial (ou seja, ao longo de \hat{\mathbf{r}}): não pode ter componente azimutal nem componente ao longo de z.\n
    Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro circular coaxial com a linha de raio r e comprimento L. Essa superfície tem três partes: a superfície lateral curva e duas tampas (bases) planas. Vantagens: \mathbf{D} é normal e constante na superfície lateral; nas tampas \mathbf{D} é ortogonal à normal, então não contribuem para o fluxo.

Passo 4

Calcular o fluxo de \mathbf{D} através da superfície de Gauss.\n
Na superfície lateral do cilindro, o vetor área elementar é d\mathbf{A}=\hat{\mathbf{r}}\, r\, d\varphi\, dz (ou simplesmente a área total da lateral é 2\pi r L com direção \hat{\mathbf{r}}). Como \mathbf{D} é radial e constante em módulo sobre a superfície lateral (mesmo r e mesma simetria), o fluxo através da lateral é:
\Phi_{\text{lateral}} = \mathbf{D}(r)\cdot (\hat{\mathbf{r}}\,2\pi r L) = D(r)\,2\pi r L,
onde D(r) é o módulo de \mathbf{D} em distância r.\n
Nas tampas (superfícies planas nas extremidades do cilindro) o vetor área é paralelo ao eixo z (ou seja, \pm\hat{\mathbf{z}}), enquanto \mathbf{D} é radial, então \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=0 e essas tampas não contribuem para o fluxo total.

Passo 5

Calcular a carga encerrada pela superfície de Gauss.\n
A carga livre total contida no cilindro é simplesmente a densidade linear multiplicada pelo comprimento:
Q_{\text{enc}} = \rho_{L}\, L.
(Explicando: \rho_{L} tem unidades de carga por comprimento, então ao multiplicar por L obtemos carga.)

Passo 6

Aplicar a Lei de Gauss e resolver para D(r).\n
Pela Lei de Gauss temos:
\oint_{S} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{enc}}.
Substituindo o fluxo calculado e a carga encerrada:
D(r)\,2\pi r L = \rho_{L}\, L.
Cancelamos L (válido para qualquer comprimento escolhido) e isolamos D(r):
D(r) = \dfrac{\rho_{L}}{2\pi r}.
Aqui D(r) é o módulo do vetor \mathbf{D} a uma distância radial r do eixo.

Passo 7

Dar a forma vetorial final, discutir direção e validade.\n
Como concluímos na simetria, \mathbf{D} é radial. Portanto a forma vetorial é:
\mathbf{D}(r) = \dfrac{\rho_{L}}{2\pi r}\,\hat{\mathbf{r}}.
Observações importantes:
  • A direção \hat{\mathbf{r}} é o vetor unitário que aponta radialmente para fora do eixo z. Se \rho_{L}>0 então \mathbf{D} aponta para fora; se \rho_{L}<0 aponta para dentro (sinal capturado em \rho_{L}).\n
  • Esta expressão vale para r>0. No eixo ( r=0) há singularidade (campo infinito) porque a carga está idealizada como uma linha infinita de carga concentrada no eixo.\n
  • Se você precisar do campo elétrico \mathbf{E} em um meio com permissividade \varepsilon, lembre que \mathbf{D}=\varepsilon\,\mathbf{E}, logo \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon. No vácuo \varepsilon=\varepsilon_{0}, então \mathbf{E} = \dfrac{\rho_{L}}{2\pi\varepsilon_{0} r}\,\hat{\mathbf{r}}.

Resposta

\mathbf{D}(r)=\dfrac{\rho_{L}}{2\pi r}\,\hat{\mathbf{r}}

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