Questão 4:
(10 pontos) Prove, usando a definição, que
\lim _{x \rightarrow-2} \sqrt{5-2 x}=3
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to -2} \sqrt{5-2x} = 3.
Informações dadas (claras no enunciado):
A função considerada é x \mapsto \sqrt{5-2x}.
O ponto de interesse é x\to -2.
A afirmativa a provar é que o limite dessa função quando x tende a -2 é 3.
Passo 2
Recordando a definição de limite que vamos usar (vou explicar cada símbolo):
Dizemos que \displaystyle\lim_{x\to -2} f(x)=3 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-(-2)|<\delta (ou seja, 0<|x+2|<\delta), vale
|f(x)-3|<\varepsilon.
Aqui:
\varepsilon é a precisão desejada no valor da função (distância em torno de 3).
\delta é a tolerância que imporemos na variável x (distância em torno de -2).
O objetivo é mostrar como escolher \delta em função de um dado \varepsilon>0, de modo que a desigualdade acima seja verdadeira.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso f, queremos controlar
\left|\sqrt{5-2x}-3\right|
em termos de |x+2|. A estratégia padrão para expressar uma diferença envolvendo raiz quadrada é “racionalizar” a diferença multiplicando numerador e denominador pela soma conjugada. Vamos fazer isso para relacionar \left|\sqrt{5-2x}-3\right| com |x+2|.
Para transformar a igualdade acima numa desigualdade do tipo \left|\sqrt{5-2x}-3\right| \le C\,|x+2| (com C constante positivo), precisamos encontrar um limite inferior para o denominador \sqrt{5-2x}+3 quando x está suficientemente próximo de -2.
Escolhemos um \delta inicial pequeno para controlar esse denominador. É comum tomar um valor prático como \delta_0=1. Se impusermos |x+2|<1, então x pertence ao intervalo (-3,-1). Para x nesse intervalo:
o menor valor de 5-2x ocorre em x=-1, dando 5-2(-1)=7,
portanto \sqrt{5-2x}\ge\sqrt{7} para todo x com |x+2|<1.
Assim, quando |x+2|<1 temos
\sqrt{5-2x}+3 \ge \sqrt{7}+3.
Passo 6
Usando esse limite inferior no passo anterior, obtemos, para todo x com |x+2|<1,
Agora, dado um \varepsilon>0, queremos garantir que a direita seja <\varepsilon. Basta exigir
\frac{2|x+2|}{\sqrt{7}+3} < \varepsilon,
ou seja
|x+2| < \frac{\sqrt{7}+3}{2}\,\varepsilon.
Passo 7
Reunindo as duas condições sobre |x+2| que impusemos (a de estar dentro de 1 para controlar o denominador e a que garante a precisão \varepsilon), escolhemos
Isso mostra exatamente a propriedade exigida pela definição de limite: para todo \varepsilon>0 encontramos um \delta>0 (o dado acima) que garante | \sqrt{5-2x}-3 |<\varepsilon sempre que 0<|x+2|<\delta.
Passo 8
Concluímos, portanto, que a definição de limite é satisfeita com a escolha de \delta feita no passo anterior. Logo