Questão 4:
(10 pontos) Prove, usando a definição, que
\lim _{x \rightarrow-2} \sqrt{5-2 x}=3

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to -2} \sqrt{5-2x} = 3.
Informações dadas (claras no enunciado):
  • A função considerada é x \mapsto \sqrt{5-2x}.
  • O ponto de interesse é x\to -2.
  • A afirmativa a provar é que o limite dessa função quando x tende a -2 é 3.

Passo 2

Recordando a definição de limite que vamos usar (vou explicar cada símbolo):
Dizemos que \displaystyle\lim_{x\to -2} f(x)=3 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-(-2)|<\delta (ou seja, 0<|x+2|<\delta), vale
|f(x)-3|<\varepsilon.
Aqui:
  • \varepsilon é a precisão desejada no valor da função (distância em torno de 3).
  • \delta é a tolerância que imporemos na variável x (distância em torno de -2).
    O objetivo é mostrar como escolher \delta em função de um dado \varepsilon>0, de modo que a desigualdade acima seja verdadeira.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso f, queremos controlar
\left|\sqrt{5-2x}-3\right|
em termos de |x+2|. A estratégia padrão para expressar uma diferença envolvendo raiz quadrada é “racionalizar” a diferença multiplicando numerador e denominador pela soma conjugada. Vamos fazer isso para relacionar \left|\sqrt{5-2x}-3\right| com |x+2|.

Passo 4

Racionalizando a expressão:
\left|\sqrt{5-2x}-3\right| = \frac{\left|\left(\sqrt{5-2x}-3\right)\left(\sqrt{5-2x}+3\right)\right|}{\sqrt{5-2x}+3} = \frac{\left|5-2x-9\right|}{\sqrt{5-2x}+3}.
Simplificando o numerador:
5-2x-9 = -2x-4 = -2(x+2),
portanto
\left|\sqrt{5-2x}-3\right| = \frac{2|x+2|}{\sqrt{5-2x}+3}.

Passo 5

Para transformar a igualdade acima numa desigualdade do tipo \left|\sqrt{5-2x}-3\right| \le C\,|x+2| (com C constante positivo), precisamos encontrar um limite inferior para o denominador \sqrt{5-2x}+3 quando x está suficientemente próximo de -2.
Escolhemos um \delta inicial pequeno para controlar esse denominador. É comum tomar um valor prático como \delta_0=1. Se impusermos |x+2|<1, então x pertence ao intervalo (-3,-1). Para x nesse intervalo:
  • o menor valor de 5-2x ocorre em x=-1, dando 5-2(-1)=7,
  • portanto \sqrt{5-2x}\ge\sqrt{7} para todo x com |x+2|<1.
    Assim, quando |x+2|<1 temos
\sqrt{5-2x}+3 \ge \sqrt{7}+3.

Passo 6

Usando esse limite inferior no passo anterior, obtemos, para todo x com |x+2|<1,
\left|\sqrt{5-2x}-3\right| = \frac{2|x+2|}{\sqrt{5-2x}+3} \le \frac{2|x+2|}{\sqrt{7}+3}.
Agora, dado um \varepsilon>0, queremos garantir que a direita seja <\varepsilon. Basta exigir
\frac{2|x+2|}{\sqrt{7}+3} < \varepsilon,
ou seja
|x+2| < \frac{\sqrt{7}+3}{2}\,\varepsilon.

Passo 7

Reunindo as duas condições sobre |x+2| que impusemos (a de estar dentro de 1 para controlar o denominador e a que garante a precisão \varepsilon), escolhemos
\delta = \min\left\{1,\; \frac{\sqrt{7}+3}{2}\,\varepsilon\right\}.
Então, para qualquer x com 0<|x+2|<\delta temos:
  • por construção, |x+2|<1 então \sqrt{5-2x}+3\ge\sqrt{7}+3;
  • e também |x+2|<\dfrac{\sqrt{7}+3}{2}\varepsilon, portanto
\left|\sqrt{5-2x}-3\right| \le \frac{2|x+2|}{\sqrt{7}+3} < \frac{2}{\sqrt{7}+3}\cdot \frac{\sqrt{7}+3}{2}\,\varepsilon = \varepsilon.
Isso mostra exatamente a propriedade exigida pela definição de limite: para todo \varepsilon>0 encontramos um \delta>0 (o dado acima) que garante | \sqrt{5-2x}-3 |<\varepsilon sempre que 0<|x+2|<\delta.

Passo 8

Concluímos, portanto, que a definição de limite é satisfeita com a escolha de \delta feita no passo anterior. Logo
\lim_{x\to -2} \sqrt{5-2x} = 3.

Resposta

\displaystyle 3

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