Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
x^2+(y-a)^2=a^2

Passo 1

O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de círculos
x^2 + (y - a)^2 = a^2,
onde a é parâmetro. Vamos usar diferenciação implícita para obter a declividade dessa família e depois aplicar que, para curvas ortogonais, a nova declividade é o negativo do recíproco. Em seguida eliminamos a e resolvemos a equação diferencial resultante.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em x tratando a como constante, temos
2x + 2(y - a),y' = 0
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y' = -x,y - a,

Passo 3

A declividade de cada círculo é m = y'. Para a família ortogonal, a declividade deve ser
mperp = -1m = y - ax

Passo 4

Eliminamos o parâmetro a usando a equação original. De
x^2 + (y - a)^2 = a^2
vem
x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2 Longrightarrow 2ay = x^2 + y^2 Longrightarrow a = x^2 + y^22y
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y - a = y - x^2 + y^22y = 2y^2 - x^2 - y^22y = y^2 - x^22y

Passo 5

Substituindo em mperp = tfracy - ax, obtemos a equação diferencial
dydx = y^2 - x^22xy
Observamos que é uma equação homogênea de grau zero.

Passo 6

Fazemos v = tfracyx, de modo que y = vx e
dydx = v + xdvdx
Substituindo em
v + xdvdx = v^2 - 12v
leva a
xdvdx = -v^2 + 12v
Separando variáveis:
integral 2vv^2 + 1,dv = -integral dxx Longrightarrow lnl(v^2+1r) = -ln|x| + C

Passo 7

Volta a x,y usando v = y/x:
v^2+1 = Kx Longrightarrow y^2x^2 + 1 = Kx Longrightarrow x^2 + y^2 = Kx,
onde K = e^C é constante.

Resposta

A família de trajetórias ortogonais é
x^2 + y^2 = Cx,
com C constante arbitrária.

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