Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
Passo 1
O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de círculos
onde
é parâmetro. Vamos usar diferenciação implícita para obter a declividade dessa família e depois aplicar que, para curvas ortogonais, a nova declividade é o negativo do recíproco. Em seguida eliminamos
e resolvemos a equação diferencial resultante.
Passo 2
Diferenciando implicitamente em
tratando
como constante, temos
logo
Passo 3
A declividade de cada círculo é
. Para a família ortogonal, a declividade deve ser
Passo 4
Eliminamos o parâmetro
usando a equação original. De
vem
Logo
Passo 5
Substituindo em
, obtemos a equação diferencial
Observamos que é uma equação homogênea de grau zero.
Passo 6
Fazemos
, de modo que
e
Substituindo em
leva a
Separando variáveis:
Passo 7
Volta a
usando
:
onde
é constante.
Resposta
A família de trajetórias ortogonais é
com
constante arbitrária.