Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
Passo 1
O problema dá a família uniparamétrica de curvas
e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, o lugar geométrico de curvas que cruzam cada membro dessa família sempre com ângulo reto. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas e equações diferenciais separáveis.
Passo 2
Começamos encontrando a derivada da família original. Como
podemos isolar o parâmetro escrevendo
Derivando em relação a e substituindo em termos de , temos
Esse é o coeficiente angular das curvas da família dada.
Passo 3
Para que outra curva seja ortogonal a essa família, seu coeficiente angular deve satisfazer
Logo
Portanto, as trajetórias ortogonais satisfazem a equação diferencial
dydx = -x2y
Passo 4
A equação é separável. Podemos escrever
2y,dy = -x,dx
e integrar ambos os lados:
integral 2y,dy = integral -x,dx Longrightarrow y^2 = -x^22 + C,
onde C é a constante de integração. Rearranjando, obtemos
x^2 + 2,y^2 = C'
Aqui C' é apenas outra constante arbitrária.
Resposta
As trajetórias ortogonais da família y = a x^2 são dadas pelo lugar geométrico