Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
y=a x^2

Passo 1

O problema dá a família uniparamétrica de curvas
y = a x^2
e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, o lugar geométrico de curvas que cruzam cada membro dessa família sempre com ângulo reto. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas e equações diferenciais separáveis.

Passo 2

Começamos encontrando a derivada da família original. Como
y = a x^2,
podemos isolar o parâmetro a escrevendo
a = yx^2
Derivando y = a x^2 em relação a x e substituindo a em termos de x,y, temos
dydx = 2,a,x = 2,x;yx^2 = 2yx
Esse é o coeficiente angular m1 das curvas da família dada.

Passo 3

Para que outra curva seja ortogonal a essa família, seu coeficiente angular m2 deve satisfazer
m1,m2 = -1
Logo
m2 = dydxg|orto = -1m1 = -x2y
Portanto, as trajetórias ortogonais satisfazem a equação diferencial
dydx = -x2y

Passo 4

A equação é separável. Podemos escrever
2y,dy = -x,dx
e integrar ambos os lados:
integral 2y,dy = integral -x,dx Longrightarrow y^2 = -x^22 + C,
onde C é a constante de integração. Rearranjando, obtemos
x^2 + 2,y^2 = C'
Aqui C' é apenas outra constante arbitrária.

Resposta

As trajetórias ortogonais da família y = a x^2 são dadas pelo lugar geométrico
x^2 + 2,y^2 = C,
com C constante real.

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