Determine as trajetórias ortogonais da familia de curvas
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de curvas y = a cosh(x/a). Estamos em Equações Diferenciais: vamos precisar (1) da derivada implícita de y = a cosh(x/a) para achar o campo de inclinações da família original e (2) trocar cada inclinação pela negativa do inverso para obter o campo ortogonal.
Passo 2
Diferenciando implicitamente y = a cosh(x/a) em relação a x (tratando a como constante) obtemos:
Passo 3
Logo, o coeficiente angular da família dada é p = sinh(x/a). Para as trajetórias ortogonais a cada reta tangente deve satisfazer p·p_ort = –1. Assim o campo ortogonal tem:
Passo 4
Agora usemos cosh(x/a)=y/a e a identidade sinh^2=cosh^2-1 para escrever sinh(x/a)=raiz(y/a)^2-1. Assim:
dydx = -1raiz(y/a)^2-1 = -araizy^2-a^2
Passo 5
Este campo envolve o parâmetro a de modo não eliminável por substituições elementares, e ao testar uma curva do tipo y = Cx^2 seu coeficiente angular 2Cx não tem como coincidir para todos os x com o campo acima. Portanto y = C x^2 não satisfaz a condição de ortogonalidade.
Concluímos que a opção y = C x^2 é incorreta.
Resposta
Não existe trajetória ortogonal da forma y = C x^2; essa opção está errada.