(35 %) Seja U=(x, y) in R^2 mid x>0, e seja F: U R^2 o campo F(x, y)=(yx^2,-1x).
(b) Para a>0, demonstre que se lambda é um caminho seccionalmente contínuo que inicia no ponto (1,1) e termina no ponto (a, a), então integrallambda F cdot d lambda=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar que a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (yx^2, -1x) ao longo de qualquer caminho que vai de (1,1) até (a, a), onde a > 0, é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar os valores de um campo vetorial ao longo de um caminho. Se a integral for zero, isso pode indicar que o campo é conservativo, ou seja, que existe uma função potencial tal que F é o gradiente dessa função.

Passo 3

Vamos verificar se o campo F é conservativo. Um campo vetorial F = (P, Q) é conservativo se existir uma função escalar f tal que P = partial fpartial x e Q = partial fpartial y. Além disso, para campos em R^2, uma condição necessária (e em regiões simplesmente conexas, suficiente) é que a derivada mista seja igual, ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo F(x, y) = (yx^2, -1x).
Primeiro, P = yx^2, então:
partial Ppartial y = 1x^2
Segundo, Q = -1x, então:
partial Qpartial x = 1x^2

Passo 5

Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo F satisfaz a condição necessária para ser conservativo. Além disso, como estamos trabalhando no domínio U = (x, y) in R^2 mid x > 0, que é simplesmente conexo (não há “buracos”), podemos concluir que F é conservativo nesse domínio.

Passo 6

Se F é conservativo, então existe uma função potencial f tal que F = nabla f. E uma propriedade chave é que a integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos depende apenas desses pontos, não do caminho escolhido. Ou seja:
integrallambda F cdot dlambda = f(a, a) - f(1, 1)

Passo 7

Vamos achar a função potencial f. Sabemos que:
partial fpartial x = yx^2
Integrando em relação a x:
f(x, y) = integral yx^2 dx = -yx + g(y)
Onde g(y) é uma função que depende apenas de y.
Agora, diferenciando f em relação a y para igualar a Q:
partial fpartial y = -1x + g'(y) = -1x
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é constante. Podemos tomar g(y) = 0 sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = -yx

Passo 8

Agora, calculamos a diferença da função potencial nos pontos finais:
f(a, a) - f(1, 1) = (-aa) - (-11) = -1 - (-1) = 0

Resposta

Portanto, integrallambda F cdot d lambda = 0.

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