Seja
, e seja
o campo
.
(b) Para
, demonstre que se
é um caminho seccionalmente contínuo que inicia no ponto
e termina no ponto
, então
.
(b) Para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar que a integral de linha do campo vetorial
ao longo de qualquer caminho que vai de
até
, onde
, é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar os valores de um campo vetorial ao longo de um caminho. Se a integral for zero, isso pode indicar que o campo é conservativo, ou seja, que existe uma função potencial tal que
é o gradiente dessa função.
Passo 3
Vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
e
. Além disso, para campos em
, uma condição necessária (e em regiões simplesmente conexas, suficiente) é que a derivada mista seja igual, ou seja:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo
.
Primeiro,
, então:
Segundo,
, então:
Passo 5
Como
, o campo
satisfaz a condição necessária para ser conservativo. Além disso, como estamos trabalhando no domínio
, que é simplesmente conexo (não há “buracos”), podemos concluir que
é conservativo nesse domínio.
Passo 6
Se
é conservativo, então existe uma função potencial
tal que
. E uma propriedade chave é que a integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos depende apenas desses pontos, não do caminho escolhido. Ou seja:
Passo 7
Vamos achar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Agora, diferenciando
em relação a
para igualar a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos tomar
sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:
Passo 8
Agora, calculamos a diferença da função potencial nos pontos finais:
Resposta
Portanto,
.