Determine as trajetórias ortogonais da familia de curvas y=a cosh (xa)
Escolha uma opção:
y=C e^-x

Passo 1

O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y=acoshl(tfrac xar). Vamos usar o método clássico: 1) achar dy/dx da família original, 2) inverter o sinal e tomar o recíproco para obter a inclinação ortogonal, 3) integrar essa equação diferencial.

Passo 2

Passo 1: derivada da família original. Para y=acosh(x/a) temos
dydx=acdotsinhl(x/ar)cdotddx(x/a)=sinhl(x/ar)

Passo 3

Passo 2: inclinação das trajetórias ortogonais. É
dydxperp=-1sinh(x/a)

Passo 4

Passo 3: verificar a opção dada. A curva y=Ce^-x tem inclinação
dydx=-Ce^-x=-y
Para que seja ortogonal à família original precisamos ter
$$\Bigl(\sinh(x/a)\Bigr)\cdot(-y)=-1\quad\Longrightarrow\quad y\sinh(x/a)=1,
$$

Passo 5

mas na família original y=acosh(x/a), portanto
ysinh(x/a)=acosh(x/a)sinh(x/a)=tfrac a2sinhl(2x/ar), que não é constante igual a 1 para todo x. Logo y=Ce^-x não satisfaz a condição de ortogonalidade.

Passo 6

Portanto a única opção apresentada não é a família de trajetórias ortogonais da dada curva.

Resposta

Nenhuma – a curva proposta y=Ce^-x não satisfaz a condição de ortogonalidade.

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