Terceira Avaliação
Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n / 2^n, (Teste da série alternada);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar testes de convergência para descobrir se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 n2^n converge ou diverge. A matéria envolvida aqui são as séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Série Alternada. Vamos precisar verificar se os termos da série alternam de sinal e se atendem às condições desse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. Olhe para o termo (-1)^n+1: esse fator faz com que os termos da série mudem de sinal conforme n aumenta. Então, sim, essa é uma série alternada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada da forma sum (-1)^n bn converge se duas condições forem atendidas:
  1. bn é positiva, decrescente e tende a zero quando n tende ao infinito.
  2. limn to infty bn = 0.
No nosso caso, bn = n2^n.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se bn é positiva. Como n e 2^n são sempre positivos para todo n >= 1, bn também é positiva.

Passo 5

Agora, vamos ver se bn é decrescente. Para isso, comparamos bn+1 com bn:
bn+1 = n+12^n+1 = n+12 cdot 2^n = n+12 cdot 12^n
Comparando com bn = n2^n, fica claro que n+12 < n para n >= 1, então bn+1 < bn. Assim, bn é decrescente.

Passo 6

Por fim, vamos calcular o limite de bn quando n tende ao infinito:
limn to infty n2^n = 0
Isso porque 2^n cresce muito mais rápido que n, fazendo o quociente tender a zero.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 n2^n converge pelo Teste da Série Alternada.

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