Terceira Avaliação
Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
, (Teste da série alternada);
Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar testes de convergência para descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui são as séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Série Alternada. Vamos precisar verificar se os termos da série alternam de sinal e se atendem às condições desse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. Olhe para o termo
: esse fator faz com que os termos da série mudem de sinal conforme
aumenta. Então, sim, essa é uma série alternada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada da forma
converge se duas condições forem atendidas:
-
é positiva, decrescente e tende a zero quando tende ao infinito. -
.
No nosso caso,
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se
é positiva. Como
e
são sempre positivos para todo
,
também é positiva.
Passo 5
Agora, vamos ver se
é decrescente. Para isso, comparamos
com
:
Comparando com
, fica claro que
para
, então
. Assim,
é decrescente.
Passo 6
Por fim, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso porque
cresce muito mais rápido que
, fazendo o quociente tender a zero.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Série Alternada.