Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
y=a x

Passo 1

O enunciado dá a família de retas
y = a,x
e pede as curvas que a interceptam ortogonalmente. O conteúdo aqui é encontrar as trajetórias ortogonais usando equações diferenciais: primeiro escrevemos a equação diferencial da família dada, depois substituímos o coeficiente angular pela sua negativa recíproca e resolvemos.

Passo 2

Da relação y = a,x obtemos o parâmetro
a = yx
Derivando ambos os lados em relação a x, temos
dydx = a = yx

Passo 3

Para as ortotrajetórias o coeficiente angular deve ser o negativo recíproco, ou seja
dydx|orto = -1dydx = -xy
Logo a equação diferencial das ortotrajetórias é
dydx = -xy

Passo 4

Separamos variáveis:
y,dy = -x,dx
Integramos dos dois lados:
integral y,dy = -integral x,dx Longrightarrow 12y^2 = -12x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Reorganizando, obtemos
x^2 + y^2 = C',
sendo C' = 2C. Portanto as ortotrajetórias são círculos de centro na origem.

Resposta

As trajetórias ortogonais são
x^2 + y^2 = C,
com C constante.

Exercícios relacionados