Exercício 14. Seja phi: R R uma função diferenciável e seja g(x, y)=f(y)+ f(xy). Verifique que x partial gpartial x+y partial gpartial y=y f^prime(y).

Passo 1

O enunciado define uma função real diferenciável f:RtoR e, em seguida, g(x,y)=f(y)+fl(tfracxyr). Pede-se para verificar que
x,partial gpartial x+y,partial gpartial y=y,f'(y)
Aqui vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos partial gpartial x. Como g(x,y)=f(y)+fl(tfracxyr), a única parte que depende de x é f(x/y). Pela regra da cadeia,
partialpartial x,fl(tfracxyr) =f'l(tfracxyr)cdotpartialpartial xl(tfracxyr) =f'l(tfracxyr),1y
Logo,
partial gpartial x =1y;f'!l(tfracxyr)

Passo 3

Calculamos partial gpartial y. Temos duas parcelas:
  • partial f(y)/partial y = f'(y).
  • Para f(x/y), pela regra da cadeia e derivada de x/y em relação a y:
partialpartial y,fl(tfracxyr) =f'l(tfracxyr)cdotpartialpartial yl(tfracxyr) =f'l(tfracxyr),l(-tfracxy^2r)
Somando as duas partes,
partial gpartial y =f'(y);-;xy^2;f'!l(tfracxyr)

Passo 4

Agora formamos x,gx+y,gy:
x,partial gpartial x =x;1y;f'!l(tfracxyr) e y,partial gpartial y =y;f'(y);-;y;xy^2;f'!l(tfracxyr)
Somando,
x,gx + y,gy =xyf'l(tfracxyr) +;y,f'(y) -;xyf'l(tfracxyr) =y,f'(y)
Isso confirma a identidade pedida.

Resposta

x,partial gpartial x+y,partial gpartial y=y,f'(y)

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