Exercício 14. Seja
uma função diferenciável e seja
. Verifique que
.
Passo 1
O enunciado define uma função real diferenciável
e, em seguida,
. Pede-se para verificar que
Aqui vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Calculamos
. Como
, a única parte que depende de
é
. Pela regra da cadeia,
Logo,
Passo 3
Calculamos
. Temos duas parcelas:
-
. - Para
, pela regra da cadeia e derivada de em relação a :
Somando as duas partes,
Passo 4
Agora formamos
:
Somando,
Isso confirma a identidade pedida.