Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
y-x+a=0

Passo 1

O enunciado dá a família de retas
y - x + a = 0
com parâmetro a e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cortam cada reta dessa família em ângulo reto. Para isso vamos (i) obter a equação diferencial da família dada, (ii) trocar o coeficiente angular pelo seu negativo recíproco e (iii) resolver a nova equação diferencial.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro a e obtemos a derivada da família dada. Da equação
y - x + a = 0
temos
a = x - y
Derivando em relação a x (e lembrando que a é constante),
dydx - 1 = 0 Longrightarrow dydx = 1

Passo 3

Para a família ortogonal, o coeficiente angular deve ser o negativo do recíproco de 1. Logo
dydx|orto = -11 = -1

Passo 4

Integramos a equação diferencial das ortogonais:
dydx = -1 Longrightarrow integral dy = integral -1,dx Longrightarrow y = -x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A família de trajetórias ortogonais é dada por
x + y = C

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