Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
Passo 1
O enunciado dá a família de retas
com parâmetro e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cortam cada reta dessa família em ângulo reto. Para isso vamos (i) obter a equação diferencial da família dada, (ii) trocar o coeficiente angular pelo seu negativo recíproco e (iii) resolver a nova equação diferencial.
Passo 2
Eliminamos o parâmetro e obtemos a derivada da família dada. Da equação
temos
Derivando em relação a (e lembrando que é constante),
Passo 3
Para a família ortogonal, o coeficiente angular deve ser o negativo do recíproco de . Logo
Passo 4
Integramos a equação diferencial das ortogonais:
dydx = -1 Longrightarrow integral dy = integral -1,dx Longrightarrow y = -x + C,