Resolva as seguintes EDOs:
2 x y \frac{d y}{d x}=4 x^{2}+3 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada por
2 x y \frac{d y}{d x}=4 x^{2}+3 y^{2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação relaciona x, y e \dfrac{dy}{dx}.
  • Não há condição inicial fornecida, portanto devemos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.
  • Note que a equação envolve apenas potências homogêneas de x e y (termos em x^{2} e y^{2}), o que sugere tentar uma transformação que use a razão y/x.
    A partir daqui vamos transformar e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro isolamos \dfrac{dy}{dx} para ver a forma do membro direito:
\frac{dy}{dx}=\frac{4 x^{2}+3 y^{2}}{2 x y}.
Agora dividimos cada termo do numerador pelo denominador para simplificar:
\frac{dy}{dx}=\frac{4x^{2}}{2xy}+\frac{3y^{2}}{2xy}=\frac{2x}{y}+\frac{3}{2}\,\frac{y}{x}.
Essa expressão mostra que o membro direito é função da razão y/x (ou seja, comportamento homogêneo), então a substituição y=vx é apropriada.

Passo 3

Introduzimos a substituição \displaystyle y=vx, onde v é função de x. Vamos também escrever \dfrac{dy}{dx} em termos de v e \dfrac{dv}{dx}. Pela regra do produto:
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituímos y=vx e \dfrac{dy}{dx} na equação transformada do Passo 2:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{2x}{vx}+\frac{3}{2}\,\frac{vx}{x}.

Passo 4

Agora simplificamos o lado direito:
\frac{2x}{vx}=\frac{2}{v}, \qquad \frac{3}{2}\,\frac{vx}{x}=\frac{3}{2}v.
Então a equação para v(x) fica
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{2}{v}+\frac{3}{2}v.
Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{2}{v}+\frac{3}{2}v - v=\frac{2}{v}+\frac{1}{2}v.

Passo 5

Colocamos a equação numa forma separável. Multiplicando ambos os lados por v para eliminar o denominador:
x\,v\frac{dv}{dx}=2+\frac{1}{2}v^{2}.
Agora isolamos os termos em v de um lado e x do outro:
\frac{v}{2+\tfrac{1}{2}v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}.
Para simplificar a integral do lado esquerdo, multiplicamos numerador e denominador por 2:
\frac{2v}{4+v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 6

Integramos os dois lados. No lado esquerdo fazemos a substituição u=4+v^{2}, que dá du=2v\,dv. Assim
\int \frac{2v}{4+v^{2}}\,dv=\int \frac{du}{u}=\ln|u|=\ln(4+v^{2}).
No lado direito
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Portanto após integrar obtemos
\ln(4+v^{2})=\ln|x|+C.

Passo 7

Exponenciando ambos os lados obtemos
4+v^{2}=A|x|,
onde A=e^{C}>0. Para permitir uma constante arbitrária (com sinal livre) costuma-se escrever de forma equivalente
4+v^{2}=C x,
com C constante arbitrária não nula (a escolha entre C x ou A|x| é uma questão de como representamos a constante; ambas representam a família geral). Voltando à variável original y com v=\dfrac{y}{x}, temos
4+\frac{y^{2}}{x^{2}}=C x.
Multiplicando por x^{2} obtemos a solução implícita mais limpa:
y^{2}+4x^{2}=C x^{3}.
Se quisermos isolar y explicitamente:
y=\pm x\sqrt{C x-4},
com as observações sobre domínio dadas abaixo.

Passo 8

Discussão sobre domínio e soluções singulares:
  • A transformação v=y/x exige x\neq 0, portanto a solução geral acima vale para intervalos onde x\neq 0.
  • Para que y seja real na forma explícita y=\pm x\sqrt{C x-4} é necessário C x-4\ge 0 no intervalo considerado.
  • Não existem soluções polinomiais do tipo y=kx com k real (tentar v= constante leva a v^{2}=-4, sem solução real).
  • O ponto x=0,y=0 satisfaz a igualdade final com constante adequada? Substituindo x=0 em y^{2}+4x^{2}=C x^{3} y^{2}=0, então y=0 no ponto isolado, mas y\equiv 0 não é solução da EDO em intervalo porque a equação original forçaria 4x^{2}=0 para todo x. Portanto não há solução identicamente zero em intervalo.

Resposta

y^{2}+4x^{2}=C x^{3}
y=\pm x\sqrt{C x-4} (forma explícita, válida onde C x-4\ge 0 e x\neq 0)

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