Resolva as seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação relaciona
, e . - Não há condição inicial fornecida, portanto devemos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.
- Note que a equação envolve apenas potências homogêneas de
e (termos em e ), o que sugere tentar uma transformação que use a razão .
A partir daqui vamos transformar e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro isolamos
para ver a forma do membro direito:
Agora dividimos cada termo do numerador pelo denominador para simplificar:
Essa expressão mostra que o membro direito é função da razão
(ou seja, comportamento homogêneo), então a substituição
é apropriada.
Passo 3
Introduzimos a substituição
, onde
é função de
. Vamos também escrever
em termos de
e
. Pela regra do produto:
Substituímos
e
na equação transformada do Passo 2:
Passo 4
Agora simplificamos o lado direito:
Então a equação para
fica
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 5
Colocamos a equação numa forma separável. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora isolamos os termos em
de um lado e
do outro:
Para simplificar a integral do lado esquerdo, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 6
Integramos os dois lados. No lado esquerdo fazemos a substituição
, que dá
. Assim
No lado direito
onde
é constante de integração. Portanto após integrar obtemos
Passo 7
Exponenciando ambos os lados obtemos
onde
. Para permitir uma constante arbitrária (com sinal livre) costuma-se escrever de forma equivalente
com
constante arbitrária não nula (a escolha entre
ou
é uma questão de como representamos a constante; ambas representam a família geral). Voltando à variável original
com
, temos
Multiplicando por
obtemos a solução implícita mais limpa:
Se quisermos isolar
explicitamente:
com as observações sobre domínio dadas abaixo.
Passo 8
Discussão sobre domínio e soluções singulares:
- A transformação
exige , portanto a solução geral acima vale para intervalos onde . - Para que
seja real na forma explícita é necessário no intervalo considerado. - Não existem soluções polinomiais do tipo
com real (tentar constante leva a , sem solução real). - O ponto
satisfaz a igualdade final com constante adequada? Substituindo em dá , então no ponto isolado, mas não é solução da EDO em intervalo porque a equação original forçaria para todo . Portanto não há solução identicamente zero em intervalo.