Determine a transformação inversa das coordenadas, ou seja, escreva expressões para x_{1} e y_{1} de um sistema transladado em função de x e y de um sistema primário.

Passo 1

O enunciado pede a transformação inversa entre dois sistemas de coordenadas cartesianas: o sistema primário (x,y) e um sistema transladado (x_{1},y_{1}) cuja origem \,O' está num ponto (x_{0},y_{0}) do sistema primário. O conteúdo é Geometria Analítica (translação de eixos) e vamos usar soma de vetores para relacionar as coordenas nos dois sistemas.

Passo 2

Seja P um ponto qualquer. No sistema transladado, as suas coordenadas são (x_{1},y_{1}) medidas a partir de O'. No sistema primário, O' tem coordenadas (x_{0},y_{0}) e P tem coordenadas (x,y). Em forma de soma de vetores:
(x,y) \;=\;(x_{0},y_{0})\;+\;(x_{1},y_{1}).
Dessa igualdade de pares de coordenadas segue diretamente a transformação direta:
x = x_{0} + x_{1}, \qquad y = y_{0} + y_{1}.

Passo 3

Para obter a transformação inversa basta isolar (x_{1},y_{1}) em função de (x,y). Subtraindo (x_{0},y_{0}) de ambos os lados, vem:
(x_{1},y_{1}) = (x,y)\;-\;(x_{0},y_{0}),
ou seja, em componentes:
x_{1} = x - x_{0}, \qquad y_{1} = y - y_{0}.

Resposta

x_{1} = x - x_{0}, \qquad y_{1} = y - y_{0}.

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