Seja P\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) as coordenadas de um novo sistema coordenado, que sofreu uma rotação de \theta e (x, y)=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) as coordenadas dos eixos primários. Determine \theta e represente graficamente o novo sistema de coordenadas rotado e o ponto nos dois sistemas.

Passo 1

O enunciado dá um ponto P que, no novo sistema de coordenadas (rotacionado), tem coordenadas
(x',y') = \Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\,\tfrac{1}{2}\Bigr)
e, no sistema original, tem coordenadas
(x,y) = \Bigl(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
O conteúdo é transformação de coordenadas por rotação de eixo. Para resolver, vamos usar a fórmula que relaciona (x',y') e (x,y) quando os eixos são girados de um ângulo \theta.

Passo 2

Quando o sistema de eixos é rotacionado de \theta no sentido anti-horário, as coordenadas se relacionam por
\begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}.
Aqui x' e y' são as coordenadas no novo sistema, e x,y no original.

Passo 3

Substituindo \bigl(x',y'\bigr)=(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2})\) e \(\bigl(x,y\bigr)=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2})\), obtemos o sistema \[\begin{cases} \sqrt{3}\,\cos\theta \;-\;\sin\theta = 1,\\\ \sqrt{3}\,\sin\theta \;+\;\cos\theta = \sqrt{3}. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por (\sqrt{3}] e subtraindo a primeira, chega-se a
4\sin\theta = 2 \quad\Rightarrow\quad \sin\theta = \tfrac12.

Passo 4

Como na segunda equação temos \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = \sqrt{3}, substituindo \sin\theta=\tfrac12
\cos\theta = \sqrt{3} - \sqrt{3}\,\frac12 = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo \cos\theta>0 e \sin\theta>0, portanto
\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}.

Passo 5

Para representar graficamente:
  1. Desenhe o sistema original com eixos x e y perpendiculares.
  2. A partir da mesma origem, trace o eixo x' girado 30^\circ no sentido anti-horário em relação a x, e o eixo y' perpendicular a x'.
  3. Marque o ponto P no sistema original em \bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) (está no círculo unitário em 60^\circ).
  4. No sistema rotacionado, o mesmo ponto aparece em \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac12\bigr), que é a sua projeção ao longo dos eixos x' e y'.

Resposta

\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}.
Gráfico: eixos originais x,y; eixos rotacionados x',y' girados 30^\circ; ponto P em \bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) no original e \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac12\bigr) no rotacionado.

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