Seja
as coordenadas de um novo sistema coordenado, que sofreu uma rotação de
e
as coordenadas dos eixos primários. Determine
e represente graficamente o novo sistema de coordenadas rotado e o ponto nos dois sistemas.
Passo 1
O enunciado dá um ponto
que, no novo sistema de coordenadas (rotacionado), tem coordenadas
e, no sistema original, tem coordenadas
O conteúdo é transformação de coordenadas por rotação de eixo. Para resolver, vamos usar a fórmula que relaciona
e
quando os eixos são girados de um ângulo
.
Passo 2
Quando o sistema de eixos é rotacionado de
no sentido anti-horário, as coordenadas se relacionam por
Aqui
e
são as coordenadas no novo sistema, e
no original.
Passo 3
Substituindo
Multiplicando a segunda equação por (\sqrt{3}] e subtraindo a primeira, chega-se a
Passo 4
Como na segunda equação temos
, substituindo
dá
Logo
e
, portanto
Passo 5
Para representar graficamente:
- Desenhe o sistema original com eixos
e perpendiculares. - A partir da mesma origem, trace o eixo
girado no sentido anti-horário em relação a , e o eixo perpendicular a . - Marque o ponto
no sistema original em (está no círculo unitário em ). - No sistema rotacionado, o mesmo ponto aparece em
, que é a sua projeção ao longo dos eixos e .
Resposta
Gráfico: eixos originais