Determine a transformação inversa das coordenadas, ou seja, escreva expressões para x_{2} e y_{2} de um sistema rotado, em um ângulo \theta, em função de x e y de um sistema primário.

Passo 1

O enunciado pede a transformação inversa de uma rotação de eixos de um ângulo \theta. Isso faz parte de coordenadas polares/cartesianas e matrizes de rotação. Vamos partir do fato de que, se (x_{2},y_{2}) são as coordenadas num sistema girado de \theta em relação ao sistema primário (x,y), então existe uma matriz de rotação R tal que
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =R\, \begin{pmatrix}x_{2}\y_{2}\end{pmatrix},
e como R é ortogonal, sua inversa é simplesmente sua transposta. Usaremos isso para achar (x_{2},y_{2}) em função de (x,y).

Passo 2

Escrevendo a rotação direta (do sistema girado para o sistema fixo), temos
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2}\y_{2}\end{pmatrix},
ou, em componentes,
x = x_{2}\cos\theta - y_{2}\sin\theta, \quad y = x_{2}\sin\theta + y_{2}\cos\theta.

Passo 3

Para inverter, notamos que a matriz de rotação
R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
é ortogonal, logo
R^{-1} = R^{T} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Aplicando R^{-1} a \bigl(x,y\bigr)^{T}, obtemos
\begin{pmatrix}x_{2}\y_{2}\end{pmatrix} = R^{T} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

Resposta

x_{2} = x\cos\theta + y\sin\theta, \qquad y_{2} = -\,x\sin\theta + y\cos\theta.

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