Nos problemas 32 a 35, determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular \mathrm{P}^{-1} \mathrm{~A} \mathrm{P}.
35) A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -1 \\\\ -2 & 2 & 1 \\\\ -1 & 1 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar uma matriz P que diagonaliza ortogonalmente a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -2 & -1\\[4pt]-2 & 2 & 1\\[4pt]-1 & 1 & 5\end{pmatrix}
e calcular \mathrm{P}^{-1}\mathrm{A}\mathrm{P}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A=\begin{pmatrix}2 & -2 & -1\\[4pt]-2 & 2 & 1\\[4pt]-1 & 1 & 5\end{pmatrix}.
Nós devemos fornecer uma matriz P ortogonal (ou seja, com colunas ortonormais) tal que P^{-1}AP seja diagonal. No caso de P ortogonal vale P^{-1}=P^{T}, então a diagonalização ortogonal é P^{T}AP=D com D diagonal contendo os autovalores.]

Passo 2

Por que podemos procurar autovalores e autovetores? Porque A é simétrica ( A^{T}=A), e uma propriedade importante da álgebra linear é que toda matriz simétrica real é diagonalizável por uma matriz ortogonal: existem autovalores reais e uma base ortonormal formada por autovetores.
Para diagonalizar ortogonalmente precisamos:
  1. Encontrar os autovalores \lambda resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
  2. Para cada autovalor, achar um autovetor não nulo v que satisfaça (A-\lambda I)v=0.
  3. Tornar os autovetores ortonormais (normalizar; se necessário, aplicar Gram–Schmidt).
  4. Montar P com esses autovetores normalizados como colunas e então calcular P^{-1}AP (que será diagonal).
Vou seguir esse procedimento passo a passo, explicando cada fórmula/etapa.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Montamos A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & -2 & -1\\[4pt]-2 & 2-\lambda & 1\\[4pt]-1 & 1 & 5-\lambda\end{pmatrix}.
Vamos expandir o determinante. Fazendo a expansão (detalhei as operações em contas abaixo):
\det(A-\lambda I)=-\lambda\bigl(\lambda^{2}-9\lambda+18\bigr).
Para ver isso uma maneira prática é expandir por cofatores (ou usar desenvolvimento e simplificar); o resultado fatorado é esse.
Agora resolvemos \det(A-\lambda I)=0, ou seja
-\lambda\bigl(\lambda^{2}-9\lambda+18\bigr)=0.
Daqui vêm os autovalores:
\lambda_{1}=0,\qquad \lambda^{2}-9\lambda+18=0 \Rightarrow \lambda=\frac{9\pm\sqrt{81-72}}{2}=\frac{9\pm3}{2},
portanto \lambda_{2}=3 e \lambda_{3}=6.
Resumo dos autovalores: \;0,\;3,\;6.]

Passo 4

Achar autovetores correspondentes. Começo pelo autovalor \lambda=0.
Procuramos v=(x,y,z)^{T} não nulo tal que Av=0. Escrevendo Av:
Av=\begin{pmatrix}2x-2y-z\\[4pt]-2x+2y+z\\[4pt]-x+y+5z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As duas primeiras equações são
2x-2y-z=0,\qquad -2x+2y+z=0,
que são a mesma equação multiplicada por -1. A terceira é
-x+y+5z=0.
Uma observação prática (muito útil em provas): tome z=0. Com z=0 a primeira equação vira 2x-2y=0\Rightarrow x=y. Então um autovetor é v_{0}=(1,1,0)^{T}. Podemos verificar diretamente A(1,1,0)^{T}=0. Então um autovetor associado a \lambda=0 é
v_{0}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora \lambda=3. Resolver (A-3I)v=0. Montamos A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -1\\[4pt]-2 & -1 & 1\\[4pt]-1 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Para v=(x,y,z)^{T} as equações são:
- x -2y - z =0,\tag{1}
-2x - y + z =0,\tag{2}
- x + y + 2z =0.\tag{3}
Da equação (1) obtemos x=-2y-z. Substituindo em (2):
-2(-2y-z)-y+z=0 \Rightarrow 4y+2z-y+z=0 \Rightarrow 3y+3z=0 \Rightarrow y=-z.
Com y=-z e x=-2y-z temos x=-2(-z)-z=2z-z=z. Então um autovetor (escolhendo z=1) é
v_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},
que satisfaz A v_{3}=3 v_{3}. (Você pode verificar multiplicando A por esse vetor.)]

Passo 6

Agora \lambda=6. Montamos A-6I:
A-6I=\begin{pmatrix}-4 & -2 & -1\\[4pt]-2 & -4 & 1\\[4pt]-1 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Equações para v=(x,y,z)^{T}:
-4x-2y-z=0,\tag{4}
-2x-4y+z=0,\tag{5}
- x + y - z =0.\tag{6}
Da (6) vem y=x+z. Substituindo em (4):
-4x-2(x+z)-z=0 \Rightarrow -4x-2x-2z-z=0 \Rightarrow -6x-3z=0 \Rightarrow 2x+z=0 \Rightarrow z=-2x.
Então y=x+z=x-2x=-x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v_{6}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix},
que satisfaz A v_{6}=6 v_{6}. (Também dá para checar multiplicando.)]

Passo 7

Verificar ortogonalidade entre os autovetores e normalizá-los.
Cálculo de produtos internos (produto escalar usual):
v_{0}\cdot v_{3}=(1)(1)+(1)(-1)+0\cdot1=0,
v_{0}\cdot v_{6}=1\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot(-2)=0,
v_{3}\cdot v_{6}=1\cdot1+(-1)(-1)+1\cdot(-2)=1+1-2=0.
Portanto os três autovetores v_{0},v_{3},v_{6} são mutuamente ortogonais — ótima notícia: não precisamos aplicar Gram–Schmidt.
Agora normalizamos cada um (transformamos em vetor unitário). Normas:
\|v_{0}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2},
\|v_{3}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3},
\|v_{6}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{6}.
Vetores unitários (colunas que usaremos em P):
u_{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad u_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad u_{6}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Esses vetores são ortonormais: \;u_{i}\cdot u_{j}=0 se i\ne j e \|u_{i}\|=1.]

Passo 8

Construir a matriz P cujas colunas são esses vetores ortonormais. Vou colocar os autovetores na ordem dos autovalores (0,3,6), assim a diagonal resultante será \operatorname{diag}(0,3,6).
Matriz P:
P=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.
Como as colunas de P são ortonormais, P é ortogonal e P^{-1}=P^{T}.]

Passo 9

Calcular P^{-1}AP. Para matriz ortogonal isto é P^{T}AP. Pelo modo como escolhemos as colunas (autovetores normalizados) vale, para cada coluna u_{i},
A u_{i}=\lambda_{i} u_{i},
portanto P^{T}AP é a matriz diagonal com os autovalores na mesma ordem das colunas:
P^{T}AP=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 0 & 6\end{pmatrix}.
Como P^{-1}=P^{T}, temos \;P^{-1}AP=\operatorname{diag}(0,3,6).]

Resposta

P=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 0 & 6\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados