Nós devemos fornecer uma matriz P ortogonal (ou seja, com colunas ortonormais) tal que P^{-1}AP seja diagonal. No caso de P ortogonal vale P^{-1}=P^{T}, então a diagonalização ortogonal é P^{T}AP=D com D diagonal contendo os autovalores.]
Passo 2
Por que podemos procurar autovalores e autovetores? Porque A é simétrica (A^{T}=A), e uma propriedade importante da álgebra linear é que toda matriz simétrica real é diagonalizável por uma matriz ortogonal: existem autovalores reais e uma base ortonormal formada por autovetores.
Para diagonalizar ortogonalmente precisamos:
Encontrar os autovalores \lambda resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
Para cada autovalor, achar um autovetor não nulo v que satisfaça (A-\lambda I)v=0.
Tornar os autovetores ortonormais (normalizar; se necessário, aplicar Gram–Schmidt).
Montar P com esses autovetores normalizados como colunas e então calcular P^{-1}AP (que será diagonal).
Vou seguir esse procedimento passo a passo, explicando cada fórmula/etapa.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
que são a mesma equação multiplicada por -1. A terceira é
-x+y+5z=0.
Uma observação prática (muito útil em provas): tome z=0. Com z=0 a primeira equação vira 2x-2y=0\Rightarrow x=y. Então um autovetor é v_{0}=(1,1,0)^{T}. Podemos verificar diretamente A(1,1,0)^{T}=0. Então um autovetor associado a \lambda=0 é
Esses vetores são ortonormais: \;u_{i}\cdot u_{j}=0 se i\ne j e \|u_{i}\|=1.]
Passo 8
Construir a matriz P cujas colunas são esses vetores ortonormais. Vou colocar os autovetores na ordem dos autovalores (0,3,6), assim a diagonal resultante será \operatorname{diag}(0,3,6).