Determine a transformação linear
(a) Considerando
e
.
(b) Determine o
.
(c) Determine o
.
(a) Considerando
(b) Determine o
(c) Determine o
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
(polinômios de grau até 3) com as duas imagens seguintes:
-
. -
.
O que pede:
(a) Determinar explicitamente , isto é, uma fórmula que calcule
para qualquer
.
(b) Determinar .
(c) Determinar .
(a) Determinar explicitamente
(b) Determinar
(c) Determinar
Informações relevantes dadas:
- As imagens de dois vetores de
: de e de . -
é linear (importante: podemos usar aditividade e homogeneidade).
Passo 2
Estratégia de construção de
(explicação passo a passo):
- Escolho a base canônica de
: e . - Defino
e . Se eu encontrar e , então para todo vale, por linearidade,
Portanto o problema reduz-se a encontrar os polinômios
e
em
.
Passo 3
Usar as informações dadas em equações lineares:
- Como
, pela linearidade
Pelo enunciado isso é
. Logo
- Como
, pela linearidade
Pelo enunciado isso é
. Logo
Passo 4
Resolver para
a partir de
:
Explanação: dividir um polinômio por escalar é feito dividindo cada coeficiente pelo escalar; aqui
atua em cada termo.
Passo 5
Agora obter
a partir de
. Substituindo
:
Calcule termo a termo:
Resumo: encontramos
Passo 6
Escrever
para vetor genérico
. Pela linearidade,
Substituindo
e
:
Reunindo coeficientes (opcional, útil para o núcleo):
Passo 7
Determinar
. Definição:
, onde
é o polinômio nulo (todos coeficientes zero). Igualando cada coeficiente de
a zero obtemos um sistema:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
coeficiente de
: já é
, não dá equação nova.
coeficiente do termo constante:
coeficiente do termo constante:
Usando
na última equação dá
, que já vimos. Então
e
implicam
. Portanto
Observação útil: núcleo trivial implica que
é injetora.
Passo 8
Determinar
. Definição: imagem é o subespaço de
gerado por todas as saídas; como
, a imagem é simplesmente
Como
, a aplicação tem posto
(pela dimensão do domínio
); portanto
é um sistema linearmente independente em
e
. Uma descrição explícita é
ou, equivalentemente, o conjunto de todos os polinômios da forma
para
. Isso deixa claro que a imagem é um subespaço bidimensional de
.
Resposta
(a)
(ou
).
(b) .
(c) (subespaço de dimensão
de
).
(b)
(c)