Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow P_{3}
(a) Considerando T(1,1)=2 x^{2}+1 e T(0,2)=x^{3}+1.
(b) Determine o \operatorname{Nuc}(T).
(c) Determine o \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to P_3 (polinômios de grau até 3) com as duas imagens seguintes:
  • T(1,1)=2x^{2}+1.
  • T(0,2)=x^{3}+1.
O que pede:
(a) Determinar explicitamente T, isto é, uma fórmula que calcule T(u,v) para qualquer (u,v)\in\mathbb{R}^2.
(b) Determinar \operatorname{Nuc}(T)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\mid T(u,v)=0\}.
(c) Determinar \operatorname{Im}(T)=\{T(u,v)\mid (u,v)\in\mathbb{R}^2\}.
Informações relevantes dadas:
  • As imagens de dois vetores de \mathbb{R}^2: de (1,1) e de (0,2).
  • T é linear (importante: podemos usar aditividade e homogeneidade).

Passo 2

Estratégia de construção de T (explicação passo a passo):
  • Escolho a base canônica de \mathbb{R}^2: e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
  • Defino p:=T(e_1) e q:=T(e_2). Se eu encontrar p e q, então para todo (u,v) vale, por linearidade,
T(u,v)=u\,p+v\,q.
Portanto o problema reduz-se a encontrar os polinômios p e q em P_3.

Passo 3

Usar as informações dadas em equações lineares:
  • Como (1,1)=e_1+e_2, pela linearidade
T(1,1)=T(e_1+e_2)=p+q.
Pelo enunciado isso é 2x^2+1. Logo
p+q = 2x^2+1.
  • Como (0,2)=2e_2, pela linearidade
T(0,2)=T(2e_2)=2\,T(e_2)=2q.
Pelo enunciado isso é x^3+1. Logo
2q = x^3+1.

Passo 4

Resolver para q a partir de 2q=x^3+1:
q=\tfrac{1}{2}(x^3+1)=\tfrac{1}{2}x^3+\tfrac{1}{2}.
Explanação: dividir um polinômio por escalar é feito dividindo cada coeficiente pelo escalar; aqui \tfrac{1}{2} atua em cada termo.

Passo 5

Agora obter p a partir de p+q=2x^2+1. Substituindo q:
p = 2x^2+1 - q = 2x^2+1 -\left(\tfrac{1}{2}x^3+\tfrac{1}{2}\right).
Calcule termo a termo:
p = -\tfrac{1}{2}x^3 + 2x^2 + \tfrac{1}{2}.
Resumo: encontramos
p=T(e_1)=-\tfrac{1}{2}x^3 + 2x^2 + \tfrac{1}{2},\qquad q=T(e_2)=\tfrac{1}{2}x^3 + \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Escrever T para vetor genérico (u,v). Pela linearidade,
T(u,v)=u\,p+v\,q.
Substituindo p e q:
T(u,v)=u\left(-\tfrac{1}{2}x^3 + 2x^2 + \tfrac{1}{2}\right) + v\left(\tfrac{1}{2}x^3 + \tfrac{1}{2}\right).
Reunindo coeficientes (opcional, útil para o núcleo):
T(u,v)=\tfrac{1}{2}(-u+v)\,x^3 + 2u\,x^2 + 0\cdot x + \tfrac{1}{2}(u+v).

Passo 7

Determinar \operatorname{Nuc}(T). Definição: \operatorname{Nuc}(T)=\{(u,v):T(u,v)=0\}, onde 0 é o polinômio nulo (todos coeficientes zero). Igualando cada coeficiente de T(u,v) a zero obtemos um sistema:
coeficiente de x^3:
\tfrac{1}{2}(-u+v)=0 \quad\Longrightarrow\quad -u+v=0 \quad\Longrightarrow\quad v=u.
coeficiente de x^2:
2u=0 \quad\Longrightarrow\quad u=0.
coeficiente de x: já é 0, não dá equação nova.
coeficiente do termo constante:
\tfrac{1}{2}(u+v)=0 \quad\Longrightarrow\quad u+v=0.
Usando v=u na última equação dá u+u=0\Rightarrow 2u=0\Rightarrow u=0, que já vimos. Então u=0 e v=u implicam v=0. Portanto
\operatorname{Nuc}(T)=\{(0,0)\}.
Observação útil: núcleo trivial implica que T é injetora.

Passo 8

Determinar \operatorname{Im}(T). Definição: imagem é o subespaço de P_3 gerado por todas as saídas; como T(u,v)=u p+v q, a imagem é simplesmente
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{p,q\}.
Como \operatorname{Nuc}(T)=\{0\}, a aplicação tem posto 2 (pela dimensão do domínio =2); portanto \{p,q\} é um sistema linearmente independente em P_3 e \dim(\operatorname{Im}(T))=2. Uma descrição explícita é
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\Big\{-\tfrac{1}{2}x^3 + 2x^2 + \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2}x^3 + \tfrac{1}{2}\Big\},
ou, equivalentemente, o conjunto de todos os polinômios da forma
\tfrac{1}{2}(-u+v)\,x^3 + 2u\,x^2 + \tfrac{1}{2}(u+v)
para (u,v)\in\mathbb{R}^2. Isso deixa claro que a imagem é um subespaço bidimensional de P_3.

Resposta

(a) T(u,v)=u\Big(-\tfrac{1}{2}x^3+2x^2+\tfrac{1}{2}\Big)+v\Big(\tfrac{1}{2}x^3+\tfrac{1}{2}\Big) (ou \;T(u,v)=\tfrac{1}{2}(-u+v)\,x^3+2u\,x^2+\tfrac{1}{2}(u+v)).
(b) \operatorname{Nuc}(T)=\{(0,0)\}.
(c) \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\Big\{-\tfrac{1}{2}x^3+2x^2+\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2}x^3+\tfrac{1}{2}\Big\} (subespaço de dimensão 2 de P_3).

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