Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) tal que
T(-1,1)=2 x-2 x^{2} \text { e } T(0,1)=1+x-x^{2}+x^{3}
(a) Determine T.
(b) Determine o núcleo de T.
(c) Determine uma base de \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado fornece duas imagens pelo operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathcal{P}_3(\mathbb{R}):
  • T(-1,1)=2x-2x^{2}.
  • T(0,1)=1+x-x^{2}+x^{3}.
O que é pedido:
(a) Determinar explicitamente T, isto é, dar uma fórmula para T(a,b) para um vetor arbitrário (a,b)\in\mathbb{R}^2.
(b) Determinar o núcleo de T: \ker(T)=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \mid T(a,b)=0\}.
(c) Determinar uma base do espaço imagem \operatorname{Im}(T).

Passo 2

Primeiro vamos verificar que os vetores cujas imagens foram dadas formam uma base de \mathbb{R}^2. Os vetores são
v_1 = (-1,1),\qquad v_2=(0,1).
Para mostrar que formam base basta mostrar que são linearmente independentes (em \mathbb{R}^2 duas vetores independentes já formam base). Se existirem escalares \alpha,\beta com
\alpha v_1+\beta v_2=(0,0),
então escrevendo coordenadas:
\alpha(-1)+\beta\cdot 0 = 0,\qquad \alpha\cdot 1+\beta\cdot 1 = 0.
A primeira equação dá \alpha=0. Substituindo na segunda vem \beta=0. Logo v_1,v_2 são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 3

Como v_1,v_2 formam base, qualquer vetor (a,b)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito de forma única como combinação linear deles:
(a,b)=\gamma_1 v_1+\gamma_2 v_2.
Vamos achar \gamma_1,\gamma_2 em função de a,b. Escrevendo coordenadas:
(a,b)=\gamma_1(-1,1)+\gamma_2(0,1)=(-\gamma_1,\\ \gamma_1+\gamma_2).
Igualando coordenadas obtemos o sistema
-\gamma_1 = a,\qquad \gamma_1+\gamma_2=b.
Da primeira equação \gamma_1 = -a. Substituindo na segunda:
-a+\gamma_2 = b \quad\Rightarrow\quad \gamma_2 = a+b.
Portanto
(a,b) = -a\,v_1 + (a+b)\,v_2.

Passo 4

Usando linearidade de T (isto é, T respeita combinações lineares), temos
T(a,b)= -a\,T(v_1) + (a+b)\,T(v_2).
Agora substituímos as imagens dadas:
T(v_1)=2x-2x^{2},\qquad T(v_2)=1+x-x^{2}+x^{3}.
Logo
T(a,b)= -a(2x-2x^{2}) + (a+b)(1+x-x^{2}+x^{3}).

Passo 5

Vamos expandir e agrupar os termos por potências de x. Primeiro expandindo:
- a(2x-2x^{2}) = -2a\,x + 2a\,x^{2},
(a+b)(1+x-x^{2}+x^{3}) = (a+b) + (a+b)x + (a+b)(-x^{2}) + (a+b)x^{3}.
Somando termo a termo obtemos os coeficientes das potências:
  • termo constante: a+b.
  • coeficiente de x: (a+b) + (-2a) = -a + b.
  • coeficiente de x^{2}: (a+b)(-1) + 2a = a - b.
  • coeficiente de x^{3}: a+b.
Portanto podemos escrever a fórmula final:
\boxed{\,T(a,b) = (a+b) + (-a+b)\,x + (a-b)\,x^{2} + (a+b)\,x^{3}\,.}

Passo 6

Agora determinamos o núcleo. Queremos todos (a,b)\) tais que \(T(a,b)=0\) (o polinômio nulo). Isso equivale a anular todos os coeficientes do polinômio obtido: \[\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] -a+b=0,\\[4pt] a-b=0,\\[4pt] a+b=0. \end{cases}
As equações são redundantes; usemos as duas primeiras. Somando as duas primeiras:
(a+b)+(-a+b)=2b=0 \Rightarrow b=0.
Substituindo em a+b=0\] vem \(a=0. Logo a única solução é (a,b)=(0,0). Portanto
\ker(T)=\{(0,0)\}.
Isto mostra que T é injetora.]

Passo 7

Finalmente, a imagem. Como T é linear e injetora em domínio de dimensão 2, o posto ( \operatorname{rank} T) é 2. Assim \operatorname{Im}(T) é um subespaço de \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) de dimensão 2. Uma base natural de \operatorname{Im}(T) é dada pelas imagens dos vetores da base v_1,v_2, isto é
T(v_1)=2x-2x^{2},\qquad T(v_2)=1+x-x^{2}+x^{3}.
Esses dois polinômios são linearmente independentes porque, se \alpha T(v_1)+\beta T(v_2)=0, então aplicando a única expansão acima e comparando com a escrita T(a,b) – ou observando que isso implicaria (\alpha,\beta) no núcleo do operador que envia (\alpha,\beta) para essa combinação –, conclui-se que \alpha=\beta=0. Portanto
\{\,2x-2x^{2},\\\ 1+x-x^{2}+x^{3}\,\}
é uma base de \operatorname{Im}(T).

Resposta

(a) \;T(a,b)=(a+b)+(-a+b)\,x+(a-b)\,x^{2}+(a+b)\,x^{3}.
(b) \;\ker(T)=\{(0,0)\}.
(c) Uma base de \operatorname{Im}(T) é \;\{\,2x-2x^{2},\;1+x-x^{2}+x^{3}\,\}.

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