Seja
tal que
(a) Determine
.
(b) Determine o núcleo de
.
(c) Determine uma base de
.
(b) Determine o núcleo de
(c) Determine uma base de
Passo 1
O enunciado fornece duas imagens pelo operador linear
:
-
. -
.
O que é pedido:
(a) Determinar explicitamente , isto é, dar uma fórmula para
para um vetor arbitrário
.
(b) Determinar o núcleo de :
.
(c) Determinar uma base do espaço imagem .
(a) Determinar explicitamente
(b) Determinar o núcleo de
(c) Determinar uma base do espaço imagem
Passo 2
Primeiro vamos verificar que os vetores cujas imagens foram dadas formam uma base de
. Os vetores são
Para mostrar que formam base basta mostrar que são linearmente independentes (em
duas vetores independentes já formam base). Se existirem escalares
com
então escrevendo coordenadas:
A primeira equação dá
. Substituindo na segunda vem
. Logo
são linearmente independentes e formam uma base de
.
Passo 3
Como
formam base, qualquer vetor
pode ser escrito de forma única como combinação linear deles:
Vamos achar
em função de
. Escrevendo coordenadas:
Igualando coordenadas obtemos o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Portanto
Passo 4
Usando linearidade de
(isto é,
respeita combinações lineares), temos
Agora substituímos as imagens dadas:
Logo
Passo 5
Vamos expandir e agrupar os termos por potências de
. Primeiro expandindo:
Somando termo a termo obtemos os coeficientes das potências:
- termo constante:
. - coeficiente de
: . - coeficiente de
: . - coeficiente de
: .
Portanto podemos escrever a fórmula final:
Passo 6
Agora determinamos o núcleo. Queremos todos
As equações são redundantes; usemos as duas primeiras. Somando as duas primeiras:
Substituindo em
. Logo a única solução é
. Portanto
Isto mostra que
é injetora.]
Passo 7
Finalmente, a imagem. Como
é linear e injetora em domínio de dimensão
, o posto (
) é
. Assim
é um subespaço de
de dimensão
. Uma base natural de
é dada pelas imagens dos vetores da base
, isto é
Esses dois polinômios são linearmente independentes porque, se
, então aplicando a única expansão acima e comparando com a escrita
– ou observando que isso implicaria
no núcleo do operador que envia
para essa combinação –, conclui-se que
. Portanto
é uma base de
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Uma base de
é