Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
T: \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathcal{P}_{2} definida por T(p(t))=p^{\prime \prime}(t) t^{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T:\mathcal{P}_2\to\mathcal{P}_2 definida por
T(p(t)) = p''(t)\,t^2.
A pergunta é: determinar se T é uma transformação linear (isto é, se T satisfaz linearidade). Informação dada e itens importantes extraídos do enunciado:
  • O domínio e contradomínio são \mathcal{P}_2, o espaço dos polinômios de grau no máximo 2.
  • A regra de T combina a segunda derivada p''(t) do polinômio com a multiplicação por t^2.
  • O que precisa ser respondido: “Sim” ou “Não” — T é linear ou não.

Passo 2

O que significa ser transformação linear? Vou explicar direitinho, passo a passo.
Definição: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer polinômios p,q\in\mathcal{P}_2 e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, vale
T(p+q)=T(p)+T(q) \qquad\text{e}\qquad T(\alpha p)=\alpha\,T(p).
Essas duas propriedades são chamadas aditividade e homogeneidade. Uma forma compacta é dizer que para quaisquer escalares \alpha,\beta e polinômios p,q,
T(\alpha p + \beta q) = \alpha\,T(p) + \beta\,T(q).
Vou usar essas propriedades como critério de verificação.

Passo 3

Duas observações úteis (mini-aula rápida) que vamos usar:
  1. A operação de derivar é linear. Isso significa que, para quaisquer p,q e \alpha,
(p+q)' = p' + q',\qquad (\alpha p)' = \alpha p'.
Derivando de novo (segunda derivada) continua valendo linearidade:
(p+q)'' = p'' + q'',\qquad (\alpha p)'' = \alpha p''.
Isto decorre das regras básicas de derivada (derivada de soma e derivada de escalar vezes função).
  1. Multiplicar por um polinômio fixo (aqui t^2) é uma operação linear: se f(t) e g(t) são funções (ou polinômios) e \alpha é escalar, então
(t^2)(f+g) = t^2 f + t^2 g,\qquad t^2(\alpha f)=\alpha(t^2 f).
Ou seja, M: f\mapsto t^2 f é um operador linear.
Uma consequência prática: a composição de operadores lineares é linear. Assim, como a segunda derivada D^2:p\mapsto p'' é linear e a multiplicação por t^2 é linear, a composição T = M\circ D^2 deve ser linear. Vou também fazer uma verificação direta com coeficientes para deixar tudo cristalino.

Passo 4

Façamos a verificação direta usando um polinômio genérico de \mathcal{P}_2. Seja
p(t)=a t^2 + b t + c,
onde a,b,c\in\mathbb{R}. Então a segunda derivada é
p''(t) = 2a,
que é uma constante (independente de t). Aplicando T,
T(p(t)) = p''(t)\,t^2 = (2a)\,t^2 = 2a\,t^2.
Portanto T envia qualquer polinômio de grau \le2 para um múltiplo de t^2, com o múltiplo igual a 2 vezes o coeficiente de t^2 do polinômio original.

Passo 5

Agora verifico explicitamente as propriedades da linearidade usando dois polinômios quaisquer
p_1(t)=a_1 t^2 + b_1 t + c_1,\qquad p_2(t)=a_2 t^2 + b_2 t + c_2,
e um escalar \alpha.
Primeiro a aditividade:
p_1+p_2 = (a_1+a_2)t^2 + (b_1+b_2)t + (c_1+c_2),
logo
T(p_1+p_2) = 2(a_1+a_2)\,t^2 = 2a_1 t^2 + 2a_2 t^2 = T(p_1)+T(p_2).
Agora a homogeneidade:
\alpha p_1 = (\alpha a_1) t^2 + (\alpha b_1) t + (\alpha c_1),
logo
T(\alpha p_1) = 2(\alpha a_1)\,t^2 = \alpha(2 a_1 t^2) = \alpha T(p_1).
Como ambas as propriedades são verificadas para polinômios arbitrários, T é linear.

Passo 6

Para reforçar a intuição: escrevendo T sobre a base canônica \{t^2,t,1\} de \mathcal{P}_2, temos
T(t^2)=2t^2,\qquad T(t)=0,\qquad T(1)=0.
Assim a matriz de T nessa base (colunas as imagens das bases expressas em coordenadas na mesma base) é
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Isso deixa claro também que T é linear, com imagem \mathrm{Im}(T)=\mathrm{span}\{t^2\} (dimensão 1) e núcleo \ker(T)=\{p\in\mathcal{P}_2:\text{coeficiente de }t^2\text{ é }0\}=\mathrm{span}\{t,1\}é (dimensão 2).]

Passo 7

Resumo interpretativo e incentivo: a razão pela qual T é linear é bem intuitiva — tirar derivadas e multiplicar por um polinômio fixo preservam soma e multiplicação por escalar. Se na prova te pedirem similaridade (por exemplo, p\mapsto p'(t)t ou p\mapsto t\,p(t)), usa a mesma ideia: verifica linearidade da derivada e da multiplicação por função fixa, ou faça o teste direto com coeficientes.

Resposta

T é uma transformação linear.

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