Encontre a parametrização e faça um esboço da superfície de revolução :
f(z)=\cos (z)+\operatorname{sen}(2 z)

Passo 1

O enunciado pede para gerar a superfície obtida ao revolver a curva definida por
r = f(z) = \cos(z) + \sin(2z)
em torno do eixo z. O conteúdo é superfície de revolução, e vamos usar coordenadas cilíndricas, isto é, vamos parametrizar por um ângulo \theta e pela variável z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, ao revolver a curva r=f(z) em torno do eixo z, a parametrização geral é
x = f(z)\,\cos(\theta),\quad y = f(z)\,\sin(\theta),\quad z = z,
com \theta\in[0,2\pi] e z variando ao longo do domínio da função.

Passo 3

Substituindo f(z)=\cos(z)+\sin(2z) na parametrização, obtemos
x(\theta,z) = \bigl(\cos(z)+\sin(2z)\bigr)\cos(\theta),
y(\theta,z) = \bigl(\cos(z)+\sin(2z)\bigr)\sin(\theta),
z(\theta,z) = z.

Passo 4

Para esboçar, basta considerar \theta\in[0,2\pi] e z em um intervalo como [0,2\pi], pois f(z) é periódica de período 2\pi. Note que f(z) alterna positivo e negativo, o que faz a “face” da superfície inverter-se em algumas secções.

Passo 5

Para desenhar o esboço:
1. Trace o gráfico de r=f(z) em um plano r\text{--}z.
2. Em cada valor de z, desenhe um círculo de raio \bigl|\cos(z)+\sin(2z)\bigr| no plano perpendicular ao eixo z, com sinal indicado pela orientação do raio.
3. Ligando todos esses círculos, obtém-se uma superfície ondulada ao redor de z.

Resposta

A parametrização da superfície de revolução é
\begin{cases} x(\theta,z) = \bigl(\cos(z)+\sin(2z)\bigr)\cos(\theta),\\\ y(\theta,z) = \bigl(\cos(z)+\sin(2z)\bigr)\sin(\theta),\\\ z(\theta,z) = z, \end{cases}
com \theta\in[0,2\pi] e z no intervalo de interesse (por exemplo, [0,2\pi]).

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