Determine uma transformação linear que satisfaz as condições dadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
T: P2(R) M2 times 2(R) cuja imagem seja gerada por lllll1 & 0 & & 2 & 1 & & 2 & 1.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
;T: P2(R)to M2times2(R)
cuja imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos dois matrizes
M1 = 1 & 00 & 1 e M2 = 2 & 02 & 1
Aqui P2(R) tem dimensão 3 e queremos que Im,T tenha dimensão 2, igual à dimensão de spanM1,M2. Vamos então escolher uma base de P2(R) e definir T em cada vetor de forma a cobrir exatamente esse espaço de dimensão 2.

Passo 2

Verificamos primeiro que M1 e M2 são linearmente independentes. Se
alpha M1 + beta M2 = 0,
então olhando à entrada (2,1) obtemos 0cdotalpha + 2beta = 0impliesbeta=0, e daí alpha=0. Logo dimspanM1,M2=2, conforme desejado.

Passo 3

Escolhemos a base canônica de P2(R),
,1,;x,;x^2,
e definimos T de modo que a imagem de x seja M1 e a imagem de x^2 seja M2, enquanto 1 vai para zero. Assim garantimos que Im,T=spanM1,M2.

Passo 4

Concretamente, para um polinômio genérico
;p(x)=a + b,x + c,x^2
definimos
Tl(a + b,x + c,x^2r) = b,M1 ;+; c,M2 = b1 & 00 & 1 + c2 & 02 & 1
Isso é claramente linear em a,b,c e gera exatamente spanM1,M2.

Resposta

Podemos tomar
Tl(a + b,x + c,x^2r) = b1 & 00 & 1 + c2 & 02 & 1
Então Im,T=spanM1,M2, conforme exigido.

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