Determine uma transformação linear que satisfaz as condições dadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
cuja imagem seja gerada por
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cuja imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos dois matrizes
cuja imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos dois matrizes
Aqui
tem dimensão 3 e queremos que
tenha dimensão 2, igual à dimensão de
. Vamos então escolher uma base de
e definir
em cada vetor de forma a cobrir exatamente esse espaço de dimensão 2.
Passo 2
Verificamos primeiro que
e
são linearmente independentes. Se
então olhando à entrada
obtemos
, e daí
. Logo
, conforme desejado.
Passo 3
Escolhemos a base canônica de
,
e definimos
de modo que a imagem de
seja
e a imagem de
seja
, enquanto
vai para zero. Assim garantimos que
.
Passo 4
Concretamente, para um polinômio genérico
definimos
definimos
Isso é claramente linear em
e gera exatamente
.
Resposta
Podemos tomar
Então
, conforme exigido.