Determine a transformação linear T_{i} nos seguintes casos :
T_{3}: P_{2}(R) \rightarrow P_{2}(R),\left[T_{3}\right]_{\alpha_{3}}^{\alpha_{3}}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\alpha_{2}.

Passo 1

O enunciado define
– o espaço de partida e chegada como P_{2}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios de grau <=2;
– a base \alpha_{3}=\alpha_{2}=\{1, x, x^{2}\};
– a matriz de T_{3} nessa base é a matriz identidade
[T_{3}]_{\alpha_{3}}^{\alpha_{3}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Precisamos encontrar a regra de correspondência de T_{3}.

Passo 2

Como a matriz de T_{3} é a identidade, isso significa que, para cada vetor de base (ou seja, para cada monômio), temos
T_{3}(1)=1, \quad T_{3}(x)=x, \quad T_{3}(x^{2})=x^{2}.
Por linearidade, um polinômio genérico
p(x)=a + b\,x + c\,x^{2}
tem imagem
T_{3}(p(x)) = a\,T_{3}(1) \;+\; b\,T_{3}(x)\;+\;c\,T_{3}(x^{2}) = a + b\,x + c\,x^{2}.

Resposta

T_{3}:P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}),\qquad T_{3}\bigl(a + b\,x + c\,x^{2}\bigr) = a + b\,x + c\,x^{2}.

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