Seja P(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais. Mostre que os subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes
\left\{1, x-1, x^{2}-x, x^{3}-x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de polinômios
\{1,\;x-1,\;x^2-x,\;x^3-x^2\}
é linearmente independente em P(\mathbb{R}). Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear desses vetores só pode dar o polinômio zero se todos os coeficientes forem zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares c_0,c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R} tais que
c_0\cdot1 \;+\; c_1\,(x-1)\;+\; c_2\,(x^2-x)\;+\; c_3\,(x^3-x^2) =0
como polinômio nulo.

Passo 3

Expanda a soma e reúna os termos semelhantes em potências de x:
c_0 + c_1 x - c_1 + c_2 x^2 - c_2 x + c_3 x^3 - c_3 x^2 =0.
Isso pode ser reescrito em forma padronizada:
c_3\,x^3 \;+\;(c_2 - c_3)\,x^2 \;+\;(c_1 - c_2)\,x \;+\;(c_0 - c_1) =0.

Passo 4

Como o polinômio à esquerda é o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero:
\begin{cases} c_3 = 0,\\\ c_2 - c_3 = 0,\\\ c_1 - c_2 = 0,\\\ c_0 - c_1 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem c_3=0. Substituindo em c_2 - c_3=0 c_2=0. Em seguida c_1 - c_2=0 implica c_1=0, e por fim c_0 - c_1=0 implica c_0=0.

Resposta

Como a única combinação linear que produz o polinômio zero tem todos os coeficientes nulos, o conjunto \{1,\;x-1,\;x^2-x,\;x^3-x^2\} é linearmente independente.

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