Seja P(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais. Mostre que os subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes \left\{1, x-1, x^{2}-x, x^{3}-x^{2}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de polinômios \{1,\;x-1,\;x^2-x,\;x^3-x^2\}
é linearmente independente em P(\mathbb{R}). Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear desses vetores só pode dar o polinômio zero se todos os coeficientes forem zero.
Passo 2
Suponha que existam escalares c_0,c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R} tais que
Da primeira equação vem c_3=0. Substituindo em c_2 - c_3=0 dá c_2=0. Em seguida c_1 - c_2=0 implica c_1=0, e por fim c_0 - c_1=0 implica c_0=0.
Resposta
Como a única combinação linear que produz o polinômio zero tem todos os coeficientes nulos, o conjunto \{1,\;x-1,\;x^2-x,\;x^3-x^2\} é linearmente independente.