Verifique quais dos operadores lineares a seguir são diagonalizáveis. Em caso afirmativo, determine o polinômio característico de T e a matriz diagonal, relativa à base \alpha dos autovetores associados aos autovalores. T: R^{3} \rightarrow R^{3}, definido por T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, y+2 z, z).
Resposta: p(\lambda)=(1-\lambda)^{3} e V_{1}=[(1,0,0)], logo T não é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado apresenta o operador linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (x + 2y + 3z,\;y + 2z,\;z).
Queremos verificar se T é diagonalizável. Para isso vamos:
Encontrar a matriz de T na base canônica.
Calcular o polinômio característico e extrair os autovalores.
Determinar as dimensões dos autespaços e comparar com as multiplicidades algébricas.
Passo 2
Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, obtemos a matriz
Da segunda linha vem 2z=0\implies z=0. Da primeira, 2y+3\cdot0=0\implies y=0. Logo x é livre.
O autespaço é
E_1 = \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
de dimensão 1.
Passo 5
A multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 3, mas a dimensão do autespaço E_1 é apenas 1. Como não conseguimos três autovetores linearmente independentes, Tnão é diagonalizável.