Verifique quais dos operadores lineares a seguir são diagonalizáveis. Em caso afirmativo, determine o polinômio característico de T e a matriz diagonal, relativa à base \alpha dos autovetores associados aos autovalores.
T: R^{3} \rightarrow R^{3}, definido por T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, y+2 z, z).
Resposta: p(\lambda)=(1-\lambda)^{3} e V_{1}=[(1,0,0)], logo T não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado apresenta o operador linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (x + 2y + 3z,\;y + 2z,\;z).
Queremos verificar se T é diagonalizável. Para isso vamos:
  1. Encontrar a matriz de T na base canônica.
  2. Calcular o polinômio característico e extrair os autovalores.
  3. Determinar as dimensões dos autespaços e comparar com as multiplicidades algébricas.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, obtemos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
porque T(e_1)=(1,0,0), T(e_2)=(2,1,0) e T(e_3)=(3,2,1).

Passo 3

Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo todos são iguais a 1 com multiplicidade algébrica 3. Formalmente,
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^3.

Passo 4

Para o autovalor \lambda=1 resolvemos
(A - I)v = 0 \;\Longleftrightarrow\; \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem 2z=0\implies z=0. Da primeira, 2y+3\cdot0=0\implies y=0. Logo x é livre.
O autespaço é
E_1 = \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
de dimensão 1.

Passo 5

A multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 3, mas a dimensão do autespaço E_1 é apenas 1. Como não conseguimos três autovetores linearmente independentes, T não é diagonalizável.

Resposta

p(\lambda) = (1-\lambda)^3,
e T não é diagonalizável.

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