Determine a matriz associada a transformação T_{i} com relação as bases \alpha_{i} e \beta_{i}.
T_{4}: V \rightarrow V, \alpha_{4}=\beta_{4}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}, onde T_{4}\left(v_{1}\right)=2 v_{1}, T_{4}\left(v_{2}\right)=-3 v_{2} e T_{4}\left(v_{3}\right)=v_{3}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear T_{4}\colon V\to V nas bases \alpha_{4}=\beta_{4}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}, sabendo que
T_{4}(v_{1})=2\,v_{1},\quad T_{4}(v_{2})=-3\,v_{2},\quad T_{4}(v_{3})=1\,v_{3}.
O conteúdo aqui é representação matricial de uma transformação linear em bases dadas.

Passo 2

Lembre que a coluna j da matriz [T_{4}]_{\alpha_{4}}^{\beta_{4}} é o vetor de coordenadas de T_{4}(v_{j}) em relação à base de chegada \beta_{4}.

Passo 3

Para v_{1}:
T_{4}(v_{1})=2\,v_{1}=2\,v_{1}+0\,v_{2}+0\,v_{3},
logo a primeira coluna é
\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Para v_{2}:
T_{4}(v_{2})=-3\,v_{2}=0\,v_{1}-3\,v_{2}+0\,v_{3},
de onde a segunda coluna é
\begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix}.
Para v_{3}:
T_{4}(v_{3})=1\,v_{3}=0\,v_{1}+0\,v_{2}+1\,v_{3},
de onde a terceira coluna é
\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Juntando as colunas, obtemos a matriz diagonal
[T_{4}]_{\alpha_{4}}^{\beta_{4}} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -3 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[T_{4}]_{\alpha_{4}}^{\beta_{4}} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -3 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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