Determine se a transformação linear T é invertível considerando sua matriz em relação às bases canônicas. Se T é invertível, use o Teorema 3 e o método do Exemplo 7 para encontrar T^{-1}. T: \mathscr{P}_{2} \rightarrow \mathscr{P}_{2} definida por T(p(x))=p^{\prime}(x)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a transformação linear T é invertível, tomando a matriz de T em relação às bases canônicas, e — caso seja invertível — usar o Teorema 3 e o método do Exemplo 7 para encontrar T^{-1}.
Informações dadas e coisas claras do enunciado:
onde \mathscr{P}_{2} é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 2. A base canônica que vamos usar é
\mathcal{B}=\{1,\;x,\;x^{2}\}.
Passo 2
Vamos aplicar T aos vetores da base canônica e expressar os resultados em coordenadas na mesma base. Isso gera as colunas da matriz de T na base \mathcal{B}.
Calcule T nos elementos da base:
T(1)=(1)'=0,
T(x)=(x)'=1,
T(x^{2})=(x^{2})'=2x.
Agora escrevemos cada resultado como combinação linear da base \mathcal{B}=\{1,x,x^{2}\}:
T(1)=0=0\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^{2},
T(x)=1=1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^{2},
T(x^{2})=2x=0\cdot 1 + 2\cdot x + 0\cdot x^{2}.
Passo 3
As coordenadas encontradas viram colunas da matriz de T na base \mathcal{B}. Colocando cada vetor coluna na ordem (\text{coef de }1,\;\text{coef de }x,\;\text{coef de }x^{2}), obtemos
Expliquei: a primeira coluna corresponde a T(1), a segunda a T(x) e a terceira a T(x^{2}).]
Passo 4
Agora usamos critérios de invertibilidade. Conceitos importantes (explicados com calma):
Uma transformação linear T é invertível se existe uma transformação linear S tal que S\circ T e T\circ S sejam a identidade. Em espaços de dimensão finita, isso é equivalente a T ser bijetora (injetora e sobrejetora).
Pelo Teorema (o Teorema 3 referido pelo enunciado), T é invertível se, e somente se, a matriz [T]_{\mathcal{B}} for invertível (ou seja, tiver determinante não nulo / posto completo).
Outra forma prática: T é invertível se e somente se \ker(T)=\{0\} (injetividade) quando domínio e contradomínio têm mesma dimensão finita.
Vou verificar a injetividade calculando o núcleo de T.
Passo 5
Seja p(x)=a+bx+cx^{2}\in\mathscr{P}_{2}. Então
T(p)=p'(x)=b+2c x.
Para que p pertença ao núcleo de T precisamos de p'(x)\equiv 0, isto é, o polinômio b+2c x seja o polinômio zero. Isso impõe:
b=0,\qquad 2c=0\Rightarrow c=0.
Não há restrição sobre a. Logo
\ker(T)=\{\,a\;:\;p(x)=a\text{ (constantes)}\,\},
ou seja, \ker(T)=\{a\in\mathbb{R}\} é o subespaço dos polinômios constantes, que é não trivial (contém polinômios diferentes de zero, por exemplo 1).
Como \ker(T)\neq\{0\}, T não é injetora. Portanto T não é invertível.
Complemento pela matriz: observe que [T]_{\mathcal{B}} tem a terceira linha inteira nula (ou, equivalentemente, é uma matriz triangular com zeros na diagonal), logo seu determinante é 0. Isso confirma que a matriz não é invertível.
Passo 6
Conclusão e interpretação prática para a prova (dica amiguinha): o operador derivada diminui o grau do polinômio, então qualquer constante vai para zero — é justamente essa perda de informação que impede inverter a operação dentro de \mathscr{P}_{2}. Para existir inversa linear em \mathscr{P}_{2} precisaríamos ser capazes, a partir de p', recuperar p de forma única, mas só sabemos p até uma constante (a constante de integração), portanto não há inversa linear definida em todo \mathscr{P}_{2}.