Determine se a transformação dada é ou não linear. Em caso afirmativo, calcule a matriz que a representa em relação à base dos vectores coordenados unitários.
(a)
Passo 1
Estamos com a transformação dada por
Queremos verificar se é linear e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de na base canônica , onde , , .
Passo 2
Para mostrar que é linear, checamos aditividade e homogeneidade. Sejam e . Então
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Para ,
Assim, satisfaz as propriedades de linearidade.
Passo 3
Para achar a matriz de na base canônica, calculamos as imagens dos vetores :
Cada coluna da matriz é a imagem de um vetor da base, em ordem .