Determine se a transformação T: R^3 R^3 dada é ou não linear. Em caso afirmativo, calcule a matriz que a representa em relação à base dos vectores coordenados unitários.
(a) T(x, y, z)=(y, z, x)

Passo 1

Estamos com a transformação
TcolonR^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (y,,z,,x)
Queremos verificar se T é linear e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de T na base canônica e1,e2,e3, onde
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).

Passo 2

Para mostrar que T é linear, checamos aditividade e homogeneidade. Sejam
u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
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T(u+v) = l(y1+y2,;z1+z2,;x1+x2r) = (y1,z1,x1)+(y2,z2,x2) = T(u) + T(v)
Para alphainR,
Tl(alphaur) = Tl(alpha x1,alpha y1,alpha z1r) = (alpha y1,alpha z1,alpha x1) = alpha,(y1,z1,x1) = alpha,T(u)
Assim, T satisfaz as propriedades de linearidade.

Passo 3

Para achar a matriz de T na base canônica, calculamos as imagens dos vetores e1,e2,e3:
T(e1)=T(1,0,0)=(0,0,1), T(e2)=T(0,1,0)=(1,0,0), T(e3)=T(0,0,1)=(0,1,0)
Cada coluna da matriz é a imagem de um vetor da base, em ordem e1,e2,e3.

Resposta

T é linear e sua matriz na base canônica é
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 ,
de modo que A,(x,y,z)^T = (y,z,x)^T.

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