P 7.9. Sejam I, J, K, respectivamente, as matrizes de entradas complexas
I=[cc 0 & 1 -1 & 0 ], J=[cc 0 & i i & 0 ], K=[cc i & 0 0 & -i ]
Mostre que estas matrizes verificam as relações de comutação I^2=J^2=K^2= -1, I J=-J I=K, J K=-K J=I, K I=-I K=J, onde 1 é a identidade 2 times 2.
Observação. As quatro matrizes I, J, K, 1 formam a base de uma álgebra de divisão de dimensão 4 sobre o corpo dos reais. Isto significa que, se sobre o espaço linear por elas gerado se definir a multiplicação de vectores pelas regras acima, se obtém um conjunto fechado para as várias operações. Note-se, no entanto, que ele tem propriedades especiais: por exemplo, a multiplicação não é comutativa.
Esta álgebra, descoberta pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1843, dá pelo nome de Álgebra dos Quaterniões e tem importantes aplicações em Física e Matemática. Por exemplo, Frobenius mostrou em 1877 que as únicas álgebras de divisão (i.e. sem divisores de zero) reais são R (de dimensão 1), C (de dimensão 2) e a Álgebra dos Quaterniões (de dimensão 4). Neste sentido preciso, não é possível construir uma álgebra real maior do que a dos Quaterniões sem perder estrutura matemática.
Em Física, é possível deduzir de forma concisa e muito mais elegante do que com Análise vectorial clássica as equações de Maxwell, de Dirac e as transformações de Lorenz. O estudante interessado pode consultar o artigo de J. Lambek “If Hamilton had prevailed: quaternions in physics”, Mathematical Intelligencer 4 (1995), 7-15 e referências aí citadas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes
I=0 & 1-1 & 0, J=0 & i i & 0, K=i & 00 & -,i
satisfazem as relações de comutação dos quaterniões:
,I^2=J^2=K^2=-1,
,I,J=-J,I=K,
,J,K=-K,J=I,
,K,I=-I,K=J.
Para isso, basta usar multiplicação de matrizes 2times2 com entradas em C.

Passo 2

Calcular as potências ao quadrado:
I^2 =0 & 1-1 & 0 0 & 1-1 & 0 =-1 & 00 & -1 =-1,
J^2 =0 & i i & 0 0 & i i & 0 =-1 & 00 & -1 =-1,
K^2 =i & 00 & -,i i & 00 & -,i =-1 & 00 & -1 =-1

Passo 3

Calcular I,J e J,I:
I,J =0 & 1-1 & 0 0 & i i & 0 =i & 00 & -,i =K,
J,I =0 & i i & 0 0 & 1-1 & 0 =-,i & 00 & i =-K
Logo, I,J=K e J,I=-K.

Passo 4

Calcular J,K e K,J:
J,K =0 & i i & 0 i & 00 & -,i =0cdot i + icdot0 & 0cdot0 + icdot(-,i) icdot i + 0cdot0 & icdot0 + 0cdot(-,i) =0 & 1-1 & 0 =I,
K,J =i & 00 & -,i 0 & i i & 0 =0 & i^2(-,i),0 +(-,i),i & 0 =0 & -11 & 0 =-I
Portanto, J,K=I e K,J=-I.
)

Passo 5

Calcular K,I e I,K:
K,I =i & 00 & -,i 0 & 1-1 & 0 =0 & i i & 0 =J,
I,K =0 & 1-1 & 0 i & 00 & -,i =0 & -,i-,i & 0 =-J
Logo, K,I=J e I,K=-J.

Resposta

Isto demonstra todas as relações:
I^2=J^2=K^2=-1, I,J=-J,I=K, J,K=-K,J=I, K,I=-I,K=J

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