P 7.9. Sejam , respectivamente, as matrizes de entradas complexas
Mostre que estas matrizes verificam as relações de comutação I^2=J^2=K^2=-1, I J=-J I=K, J K=-K J=I, K I=-I K=J, onde 1 é a identidade 2 times 2.
Observação. As quatro matrizes I, J, K, 1 formam a base de uma álgebra de divisão de dimensão 4 sobre o corpo dos reais. Isto significa que, se sobre o espaço linear por elas gerado se definir a multiplicação de vectores pelas regras acima, se obtém um conjunto fechado para as várias operações. Note-se, no entanto, que ele tem propriedades especiais: por exemplo, a multiplicação não é comutativa.
Esta álgebra, descoberta pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1843, dá pelo nome de Álgebra dos Quaterniões e tem importantes aplicações em Física e Matemática. Por exemplo, Frobenius mostrou em 1877 que as únicas álgebras de divisão (i.e. sem divisores de zero) reais são R (de dimensão 1), C (de dimensão 2) e a Álgebra dos Quaterniões (de dimensão 4). Neste sentido preciso, não é possível construir uma álgebra real maior do que a dos Quaterniões sem perder estrutura matemática.
Em Física, é possível deduzir de forma concisa e muito mais elegante do que com Análise vectorial clássica as equações de Maxwell, de Dirac e as transformações de Lorenz. O estudante interessado pode consultar o artigo de J. Lambek “If Hamilton had prevailed: quaternions in physics”, Mathematical Intelligencer 4 (1995), 7-15 e referências aí citadas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as matrizes
I=0 & 1-1 & 0, J=0 & i i & 0, K=i & 00 & -,i
satisfazem as relações de comutação dos quaterniões: ,I^2=J^2=K^2=-1, ,I,J=-J,I=K, ,J,K=-K,J=I, ,K,I=-I,K=J.
Para isso, basta usar multiplicação de matrizes 2times2 com entradas em C.
Passo 2
Calcular as potências ao quadrado:
I^2 =0 & 1-1 & 0 0 & 1-1 & 0 =-1 & 00 & -1 =-1,
J^2 =0 & i i & 0 0 & i i & 0 =-1 & 00 & -1 =-1,
K^2 =i & 00 & -,i i & 00 & -,i =-1 & 00 & -1 =-1
Passo 3
Calcular I,J e J,I:
I,J =0 & 1-1 & 0 0 & i i & 0 =i & 00 & -,i =K,
J,I =0 & i i & 0 0 & 1-1 & 0 =-,i & 00 & i =-K
Logo, I,J=K e J,I=-K.
Passo 4
Calcular J,K e K,J:
J,K =0 & i i & 0 i & 00 & -,i =0cdot i + icdot0 & 0cdot0 + icdot(-,i) icdot i + 0cdot0 & icdot0 + 0cdot(-,i) =0 & 1-1 & 0 =I,