Mostre que o conjunto S, solução do sistema não homogêneo A X=B, não forma um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
S = ,XinR^n mid A,X = B,
com Bneq0. Queremos mostrar que S não é um espaço vetorial. Para isso basta verificar que falha pelo menos uma das propriedades de subespaço vetorial, por exemplo: (i) conter o vetor zero; (ii) ser fechado sob soma; (iii) ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero. Se 0 fosse em S, teríamos
A,0 = 0 stackrel?= B,
mas Bneq0. Logo 0notin S, o que já impede que S seja um espaço vetorial, pois todo espaço vetorial deve conter o vetor zero.

Passo 3

Para reforçar, veja que mesmo a soma de duas soluções não fica em S. Se X1,X2in S, então
A,(X1+X2)=A,X1 + A,X2 = B + B = 2Bneq B,
logo X1+X2notin S. Falha também a propriedade de fechamento sob soma.

Resposta

O conjunto S não é um espaço vetorial porque não contém o vetor zero e não é fechado sob soma.

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