9 Seja T: E E uma transformação linear tal que T^2=0. Mostre que a transformação linear I d-T é invertível.

Passo 1

Resumindo: temos uma transformação linear T:EtoE tal que T^2=0. Queremos mostrar que a transformação Id-T é invertível, ou seja, existe uma linear S com
(Id-T),S = S,(Id-T) = Id
A ideia é adivinhar um candidato a inversa e verificar que funciona.

Passo 2

Proponha S = Id + T. Vamos calcular a composição
(Id-T),(Id+T) = Id + T - T - T^2 = Id - T^2
Como T^2=0, segue
(Id-T),(Id+T)=Id
De modo análogo, trocando a ordem,
(Id+T),(Id-T) = Id - T^2 = Id

Passo 3

Como Id+T é tanto inverso à direita quanto à esquerda de Id-T, concluímos que
(Id-T)^-1 ;=; Id + T,
isto é, Id-T é invertível.

Resposta

(Id-T)^-1 = Id + T

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