Determine uma transformaçio linear T: R^{3} \rightarrow R^{4} de forma que N(T)=[(1,0,3),(0,1,-2)].

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} tal que o núcleo (núcleo = espaço nulo) satisfaça
N(T)=\operatorname{span}\{(1,0,3),(0,1,-2)\}.
Informações relevantes dadas:
  • O subespaço gerado por (1,0,3) e (0,1,-2) é o núcleo desejado.
  • Não há outras restrições; qualquer T linear com esse núcleo serve.

Passo 2

Ideia prática (sem resolver ainda): para obter um núcleo igual ao span dado, é conveniente construir uma forma linear (um funcional linear) f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} que zere exatamente nesses dois vetores. Depois, definir T como múltiplo desse funcional em \mathbb{R}^4, por exemplo T(x)=f(x)\,u com u\in\mathbb{R}^4 não nulo. Assim o núcleo de T será o mesmo que o núcleo de f.

Passo 3

Vamos achar um vetor a=(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^3 ortogonal a ambos os vetores geradores do núcleo, ou seja, tal que
a\cdot(1,0,3)=0,\qquad a\cdot(0,1,-2)=0.
Escrevendo as equações:
a_1+3a_3=0, \qquad a_2-2a_3=0.
Escolhendo a_3=1 (qualquer escala não nula funciona), obtemos
a_1=-3,\qquad a_2=2,
portanto podemos tomar
a = (-3,2,1).

Passo 4

Defino o funcional linear f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} por produto escalar com a:
f(x_1,x_2,x_3)=a\cdot(x_1,x_2,x_3)=-3x_1+2x_2+x_3.
Verificação imediata que os vetores do enunciado estão no núcleo: substituindo
f(1,0,3)=-3\cdot1+2\cdot0+1\cdot3= -3+0+3=0,
f(0,1,-2)=-3\cdot0+2\cdot1+1\cdot(-2)=0.
Logo esses vetores pertencem a N(f).

Passo 5

Argumento de dimensão para concluir igualdade dos núcleos:
  • Os vetores (1,0,3) e (0,1,-2) são linearmente independentes (claramente não são múltiplos um do outro), então \dim\big(\operatorname{span}\{(1,0,3),(0,1,-2)\}\big)=2.
  • Como f é um funcional linear não nulo em \mathbb{R}^3, seu núcleo N(f) tem dimensão 3-1=2.
  • Já mostramos que \operatorname{span}\{(1,0,3),(0,1,-2)\}\subseteq N(f) e ambas as subespaços têm dimensão 2; portanto
N(f)=\operatorname{span}\{(1,0,3),(0,1,-2)\}.

Passo 6

Agora construímos T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4. Escolho um vetor não nulo em \mathbb{R}^4, por exemplo u=(1,0,0,0), e defino
T(x)=f(x)\,u.
Escrevendo explicitamente, para x=(x_1,x_2,x_3),
T(x_1,x_2,x_3)=\bigl(-3x_1+2x_2+x_3,\;0,\;0,\;0\bigr).
Como u\neq 0, vale N(T)=N(f). Pelos passos anteriores, isso garante que
N(T)=\operatorname{span}\{(1,0,3),(0,1,-2)\},
como exigido.

Passo 7

Pequena verificação final (tranquilizadora): compute T(1,0,3)=(-3+0+3,0,0,0)=(0,0,0,0) e T(0,1,-2)=(0+2-2,0,0,0)=(0,0,0,0). Escolha também um vetor fora do núcleo, por exemplo (0,0,1): T(0,0,1)=(1,0,0,0)\neq(0,0,0,0), confirmando que o núcleo não é todo \mathbb{R}^3.

Resposta

T(x_1,x_2,x_3)=\bigl(-3x_1+2x_2+x_3,\;0,\;0,\;0\bigr).

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