Determine uma transformaçio linear
de forma que
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma transformação linear
tal que o núcleo (núcleo = espaço nulo) satisfaça
Informações relevantes dadas:
- O subespaço gerado por
e é o núcleo desejado. - Não há outras restrições; qualquer
linear com esse núcleo serve.
Passo 2
Ideia prática (sem resolver ainda): para obter um núcleo igual ao span dado, é conveniente construir uma forma linear (um funcional linear)
que zere exatamente nesses dois vetores. Depois, definir
como múltiplo desse funcional em
, por exemplo
com
não nulo. Assim o núcleo de
será o mesmo que o núcleo de
.
Passo 3
Vamos achar um vetor
ortogonal a ambos os vetores geradores do núcleo, ou seja, tal que
Escrevendo as equações:
Escolhendo
(qualquer escala não nula funciona), obtemos
portanto podemos tomar
Passo 4
Defino o funcional linear
por produto escalar com
:
Verificação imediata que os vetores do enunciado estão no núcleo: substituindo
Logo esses vetores pertencem a
.
Passo 5
Argumento de dimensão para concluir igualdade dos núcleos:
- Os vetores
e são linearmente independentes (claramente não são múltiplos um do outro), então . - Como
é um funcional linear não nulo em , seu núcleo tem dimensão . - Já mostramos que
e ambas as subespaços têm dimensão ; portanto
Passo 6
Agora construímos
. Escolho um vetor não nulo em
, por exemplo
, e defino
Escrevendo explicitamente, para
,
Como
, vale
. Pelos passos anteriores, isso garante que
como exigido.
Passo 7
Pequena verificação final (tranquilizadora): compute
e
. Escolha também um vetor fora do núcleo, por exemplo
:
, confirmando que o núcleo não é todo
.