Seja
uma matriz
cujos vetores linha
e
. Prove que
e a igualdade acontece se, e só se,
e
são vetores dois a dois ortogonais. Interprete geometricamente este resultado.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
cuja i-ésima linha é o vetor
(ou seja, as três linhas são esses vetores). O que precisa ser provado e interpretado é:
- Mostrar que
. - Determinar quando ocorre igualdade (caracterizar o caso de igualdade).
- Fazer a interpretação geométrica do resultado.
Informações relevantes que vamos usar (já extraídas do enunciado):
- As linhas de
são os vetores . - A norma
é a norma euclidiana usual em . - O determinante de
pode ser relacionado aos vetores linha (ou coluna) por produto misto (produto escalar com produto vetorial).
Passo 2
Vou recordar e explicar duas fórmulas fundamentais que vamos usar, explicando o significado de cada símbolo.
- Produto misto (scalar triple product): para
tem-se
onde
é a matriz cujas linhas (ou colunas) são
. Isso significa que o determinante é exatamente o produto escalar do primeiro vetor com o produto vetorial dos outros dois. Aqui
é o produto escalar e
é o produto vetorial.
- Norma do produto vetorial: para
vale
onde
é o ângulo entre
e
. Geometricamente,
é a área do paralelogramo gerado por
e
. Note que
, com igualdade quando
(vetores ortogonais).
Também vamos usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz (vou enunciar e explicar):
para quaisquer vetores vale
para quaisquer vetores
Igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre se, e só se,
e
são linearmente dependentes (isto é, paralelos/colineares).
Passo 3
Aplicando a identidade do produto misto e a desigualdade de Cauchy–Schwarz temos:
Explico: usei Cauchy–Schwarz com
e
. A interpretação da condição de igualdade nesta etapa: para que haja igualdade aqui, é necessário e suficiente que
e
sejam colineares. Como
é perpendicular a
e a
, ser colinear com
significa que
é perpendicular tanto a
quanto a
.
Passo 4
Agora usamos a fórmula da norma do produto vetorial:
com igualdade se, e só se,
, isto é, se
(ou seja,
é ortogonal a
).
Passo 5
Compondo as duas desigualdades das passos anteriores obtemos
Isso prova a desigualdade pedida. Agora vamos analisar quando ocorre igualdade: para termos igualdade final é preciso que aconteçam simultaneamente as igualdades em ambos os passos:
- igualdade em Cauchy–Schwarz em Passo 3:
é colinear com , o que força e ; - igualdade na Passo 4:
.
Juntando, as duas condições implicam que
é perpendicular a
e a
, e
. Portanto
são dois a dois ortogonais. A recíproca também é verdadeira: se eles são dois a dois ortogonais então
é colinear com
(pois tanto
quanto
são perpendiculares a
e
), e
(porque
). Assim ambas as desigualdades tornam-se igualdades e
Passo 6
- O valor absoluto do determinante
é o volume do paralelepípedo cujas arestas que saem de um vértice são exatamente os vetores . - O produto
é o volume de um paralelepípedo retangular (caixa ortogonal) com comprimentos das arestas iguais a , — pense em uma caixa cujas arestas são mutuamente ortogonais e têm esses comprimentos. - A desigualdade diz, geometricamente, que o volume do paralelepípedo formado por três vetores quaisquer é sempre menor ou igual ao volume da caixa ortogonal cujas arestas têm comprimentos iguais às normas desses vetores. Intuitivamente: entre todos os paralelepípedos cujas arestas têm comprimentos fixos, o que tem maior volume é o que tem arestas mutuamente ortogonais; qualquer “inclinamento” diminui o volume.
- A igualdade ocorre exatamente quando as arestas são mutuamente ortogonais, ou seja, quando o paralelepípedo é uma caixa ortogonal (as faces são retângulos e todas as arestas se encontram em ângulos retos).
Resposta
Geometricamente: