Seja \mathcal{A} uma matriz 3 \times 3 cujos vetores linha \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}. Prove que
|\operatorname{det} \mathcal{A}| \leq\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|,
e a igualdade acontece se, e só se, \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são vetores dois a dois ortogonais. Interprete geometricamente este resultado.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 3\times3 cuja i-ésima linha é o vetor \vec{u},\vec{v},\vec{w} (ou seja, as três linhas são esses vetores). O que precisa ser provado e interpretado é:
  • Mostrar que \displaystyle |\operatorname{det}\mathcal{A}|\le \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|.
  • Determinar quando ocorre igualdade (caracterizar o caso de igualdade).
  • Fazer a interpretação geométrica do resultado.
Informações relevantes que vamos usar (já extraídas do enunciado):
  • As linhas de \mathcal{A} são os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • A norma \|\cdot\| é a norma euclidiana usual em \mathbb{R}^3.
  • O determinante de \mathcal{A} pode ser relacionado aos vetores linha (ou coluna) por produto misto (produto escalar com produto vetorial).

Passo 2

Vou recordar e explicar duas fórmulas fundamentais que vamos usar, explicando o significado de cada símbolo.
  1. Produto misto (scalar triple product): para \vec{u},\vec{v},\vec{w}\in\mathbb{R}^3 tem-se
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\det\mathcal{A},
onde \mathcal{A} é a matriz cujas linhas (ou colunas) são \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Isso significa que o determinante é exatamente o produto escalar do primeiro vetor com o produto vetorial dos outros dois. Aqui \cdot é o produto escalar e \times é o produto vetorial.
  1. Norma do produto vetorial: para \vec{v},\vec{w} vale
\|\vec{v}\times\vec{w}\|=\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{w}. Geometricamente, \|\vec{v}\times\vec{w}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w}. Note que \sin\theta\le 1, com igualdade quando \theta=\tfrac{\pi}{2} (vetores ortogonais).
Também vamos usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz (vou enunciar e explicar):
para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b} vale
|\vec{a}\cdot\vec{b}|\le \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.
Igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre se, e só se, \vec{a} e \vec{b} são linearmente dependentes (isto é, paralelos/colineares).

Passo 3

Aplicando a identidade do produto misto e a desigualdade de Cauchy–Schwarz temos:
|\det\mathcal{A}|=|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})| \le \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\times\vec{w}\|.
Explico: usei Cauchy–Schwarz com \vec{a}=\vec{u} e \vec{b}=\vec{v}\times\vec{w}. A interpretação da condição de igualdade nesta etapa: para que haja igualdade aqui, é necessário e suficiente que \vec{u} e \vec{v}\times\vec{w} sejam colineares. Como \vec{v}\times\vec{w} é perpendicular a \vec{v} e a \vec{w}, ser colinear com \vec{v}\times\vec{w} significa que \vec{u} é perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{w}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula da norma do produto vetorial:
\|\vec{v}\times\vec{w}\|=\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|\sin\theta \le \|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|,
com igualdade se, e só se, \sin\theta=1, isto é, se \theta=\tfrac{\pi}{2} (ou seja, \vec{v} é ortogonal a \vec{w}).

Passo 5

Compondo as duas desigualdades das passos anteriores obtemos
|\det\mathcal{A}| \le \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\times\vec{w}\| \le \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|.
Isso prova a desigualdade pedida. Agora vamos analisar quando ocorre igualdade: para termos igualdade final é preciso que aconteçam simultaneamente as igualdades em ambos os passos:
  • igualdade em Cauchy–Schwarz em Passo 3: \vec{u} é colinear com \vec{v}\times\vec{w}, o que força \vec{u}\perp\vec{v} e \vec{u}\perp\vec{w};
  • igualdade na Passo 4: \vec{v}\perp\vec{w}.
Juntando, as duas condições implicam que \vec{u} é perpendicular a \vec{v} e a \vec{w}, e \vec{v}\perp\vec{w}. Portanto \vec{u},\vec{v},\vec{w} são dois a dois ortogonais. A recíproca também é verdadeira: se eles são dois a dois ortogonais então \vec{v}\times\vec{w} é colinear com \vec{u} (pois tanto \vec{u} quanto \vec{v}\times\vec{w} são perpendiculares a \vec{v} e \vec{w}), e \|\vec{v}\times\vec{w}\|=\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\| (porque \sin\theta=1). Assim ambas as desigualdades tornam-se igualdades e
|\det\mathcal{A}|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|.

Passo 6

  • O valor absoluto do determinante |\det\mathcal{A}| é o volume do paralelepípedo cujas arestas que saem de um vértice são exatamente os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • O produto \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\| é o volume de um paralelepípedo retangular (caixa ortogonal) com comprimentos das arestas iguais a \|\vec{u}\|,\|\vec{v}\|,\|\vec{w}, — pense em uma caixa cujas arestas são mutuamente ortogonais e têm esses comprimentos.
  • A desigualdade diz, geometricamente, que o volume do paralelepípedo formado por três vetores quaisquer é sempre menor ou igual ao volume da caixa ortogonal cujas arestas têm comprimentos iguais às normas desses vetores. Intuitivamente: entre todos os paralelepípedos cujas arestas têm comprimentos fixos, o que tem maior volume é o que tem arestas mutuamente ortogonais; qualquer “inclinamento” diminui o volume.
  • A igualdade ocorre exatamente quando as arestas são mutuamente ortogonais, ou seja, quando o paralelepípedo é uma caixa ortogonal (as faces são retângulos e todas as arestas se encontram em ângulos retos).

Resposta

|\det\mathcal{A}|\le \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|, com igualdade se, e só se, \vec{u},\vec{v},\vec{w} são dois a dois ortogonais.\n
Geometricamente: |\det\mathcal{A}| é o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}, e a desigualdade afirma que esse volume é no máximo o volume da caixa ortogonal cujas arestas têm comprimentos \|\vec{u}\|,\|\vec{v}\|,\|\vec{w}\|; igualdade ocorre quando as arestas são mutuamente ortogonais.

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