Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y, z)=(z-x, z-2 x, z-3 x) uma transformaciolinerr. Determine uma base para o Núcleo de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (\,z-x,\; z-2x,\; z-3x\,).
O que o problema pede é: determinar uma base para o Núcleo de T, isto é, encontrar um conjunto de vetores que gere
\ker T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)= (0,0,0)\}.
As informações relevantes dadas são as três coordenadas da imagem T(x,y,z) em função de x,y,z.

Passo 2

Primeiro, escrever explicitamente a condição T(x,y,z)=(0,0,0). Isto significa resolver o sistema de equações
\begin{cases} z-x = 0,\\[4pt] z-2x = 0,\\[4pt] z-3x = 0. \end{cases}
Explico: cada linha corresponde a uma coordenada da imagem sendo zero. A solução desse sistema dá exatamente todos os vetores do núcleo.]

Passo 3

Resolver as equações uma a uma. A primeira equação dá
z-x=0 \quad\Rightarrow\quad z = x.
A segunda dá
z-2x=0 \quad\Rightarrow\quad z = 2x.
A terceira dá
z-3x=0 \quad\Rightarrow\quad z = 3x.

Passo 4

Comparar as expressões obtidas para z. Temos simultaneamente z=x, z=2x e z=3x. Isso implica
x = 2x \quad\Rightarrow\quad x=0,
porque se x=2x então x(1-2)=0. Da mesma forma x=3x também força x=0. Concluímos que
x=0\quad\text{e então}\quad z=0.ã

Passo 5

Agora que sabemos x=0 e z=0, a variável y não aparece nas equações de T — ou seja, y é livre. Portanto todos os vetores do núcleo têm a forma
(0,y,0),
com y\in\mathbb{R}. Podemos escrever isso em forma de combinação linear como
(0,y,0) = y\,(0,1,0).

Passo 6

Dessa forma, o conjunto de todos os vetores do núcleo é o subespaço gerado por (0,1,0), isto é,
\ker T = \operatorname{span}\{(0,1,0)\}.
Para verificar que \{(0,1,0)\} é de fato uma base: (i) gera \ker T (já mostrado) e (ii) é linearmente independente, pois seu único vetor é diferente do vetor zero. Além disso, podemos checar rapidamente que T(0,1,0)=(0,0,0), confirmando que esse vetor pertence ao núcleo.

Passo 7

Conclusão sobre a dimensão: o núcleo tem dimensão 1 (é uma reta), e uma base natural é o vetor (0,1,0).

Resposta

\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}]

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