Seja B uma base do \mathbb{R}^{3} formada pelos vetores u_{4}=(1,0,1), u_{2}=(-1,1,0) e u_{3}=(0,1,2). Encontre B^{\prime} tambèm conhecida por base dual de B, onde B^{\prime} é por definiçio uma base para o espaco dual \varepsilon\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}\right)
Passo 1
O enunciado dá uma base B de \mathbb{R}^3 formada, na ordem em que foram listados, pelos vetores
O que se pede: encontrar a base dual B' (também chamada de base do espaço dual \varepsilon(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})). Ou seja, encontrar os funcionais lineares \varphi_1,\varphi_2,\varphi_3 tais que, para todo i,j\in\{1,2,3\},
\varphi_i(u_j)=\delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker (\delta_{ij}=1 se i=j, e 0 caso contrário).
Passo 2
O que é um funcional linear em \mathbb{R}^3 na prática?
Qualquer funcional linear \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} pode ser representado, na base canônica, por um vetor linha de coeficientes (a,b,c) tal que, para x=(x_1,x_2,x_3),
\varphi(x)=a x_1 + b x_2 + c x_3.
Assim, encontrar \varphi_i equivale a achar vetores linha (a_i,b_i,c_i) que satisfaçam \varphi_i(u_j)=\delta_{ij} para j=1,2,3.
Passo 3
Organizamos as condições em forma matricial. Seja a matriz U cujas colunas são os vetores da base B:
As linhas de U^{-1} são os coeficientes dos funcionais da base dual. Assim:
\varphi_1 corresponde à primeira linha (2,2,-1), ou seja, para x=(x_1,x_2,x_3),
\varphi_1(x)=2x_1+2x_2 - x_3.
\varphi_2 corresponde à segunda linha (1,2,-1), ou seja,
\varphi_2(x)=1\cdot x_1 + 2x_2 - x_3.
\varphi_3 corresponde à terceira linha (-1,-1,1), ou seja,
\varphi_3(x)=-x_1-x_2 + x_3.
Passo 7
Verificação rápida (mostro um exemplo de checagem): calcular \varphi_1(u_1):
\varphi_1(u_1)=2\cdot1 + 2\cdot0 - 1 = 2-1=1,
e \varphi_1(u_2)=2\cdot(-1)+2\cdot1-0= -2+2=0. Assim a primeira linha funciona como esperado; o mesmo vale para as outras por construção (pelo fato de formarem U^{-1}).