Seja B uma base do \mathbb{R}^{3} formada pelos vetores u_{4}=(1,0,1), u_{2}=(-1,1,0) e u_{3}=(0,1,2). Encontre B^{\prime} tambèm conhecida por base dual de B, onde B^{\prime} é por definiçio uma base para o espaco dual \varepsilon\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma base B de \mathbb{R}^3 formada, na ordem em que foram listados, pelos vetores
u_1=(1,0,1),\qquad u_2=(-1,1,0),\qquad u_3=(0,1,2).
O que se pede: encontrar a base dual B' (também chamada de base do espaço dual \varepsilon(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})). Ou seja, encontrar os funcionais lineares \varphi_1,\varphi_2,\varphi_3 tais que, para todo i,j\in\{1,2,3\},
\varphi_i(u_j)=\delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, e 0 caso contrário).

Passo 2

O que é um funcional linear em \mathbb{R}^3 na prática?
Qualquer funcional linear \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} pode ser representado, na base canônica, por um vetor linha de coeficientes (a,b,c) tal que, para x=(x_1,x_2,x_3),
\varphi(x)=a x_1 + b x_2 + c x_3.
Assim, encontrar \varphi_i equivale a achar vetores linha (a_i,b_i,c_i) que satisfaçam \varphi_i(u_j)=\delta_{ij} para j=1,2,3.

Passo 3

Organizamos as condições em forma matricial. Seja a matriz U cujas colunas são os vetores da base B:
U=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é u_1, a segunda é u_2 e a terceira é u_3.
Se \varphi_i é representado pela linha (a_i,b_i,c_i), as condições \varphi_i(u_j)=\delta_{ij} para j=1,2,3 escrevem-se em bloco como
(a_i,b_i,c_i)\,U=(\delta_{i1},\delta_{i2},\delta_{i3}).
Em notação matricial, se chamarmos V a matriz cujas linhas são os \varphi_i, obtemos
V\,U=I_3.
Daí segue que
V = U^{-1}.
Portanto, as linhas de U^{-1} dão diretamente os coeficientes dos funcionais \varphi_1,\varphi_2,\varphi_3.]

Passo 4

Vamos calcular U^{-1}. Primeiro o determinante de U:
usar desenvolvimento pela primeira linha:
\det(U)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&2\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculando os menores:
\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot0=2,
\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&2\end{pmatrix}=0\cdot2-1\cdot1=-1.
Logo
\det(U)=1\cdot2 -(-1)\cdot(-1)=2-1=1.
Como \det(U)=1, a inversa existe e será a adjunta (matriz dos cofatores transposta) sem divisão extra.]

Passo 5

Calculamos os cofatores de U (vou mostrar os menores e o sinal):
  • C_{11}=+\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&2\end{pmatrix}=2.
  • C_{12}=-\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&2\end{pmatrix}=-(-1)=1.
  • C_{13}=+\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix}= -1.
  • C_{21}=-\det\begin{pmatrix}-1&0\\[2pt]0&2\end{pmatrix}=-(-1\cdot2-0)=2.
  • C_{22}=+\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]1&2\end{pmatrix}=2.
  • C_{23}=-\det\begin{pmatrix}1&-1\\[2pt]1&0\end{pmatrix}=-(1\cdot0-(-1)\cdot1)= -1.
  • C_{31}=+\det\begin{pmatrix}-1&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=-1.
  • C_{32}=-\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}=-1.
  • C_{33}=+\det\begin{pmatrix}1&-1\\[2pt]0&1\end{pmatrix}=1.
Matriz dos cofatores:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 2 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
A adjunta (transposta da matriz de cofatores) é
\operatorname{adj}(U)= \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Como \det(U)=1, tem-se
U^{-1}=\operatorname{adj}(U)= \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

As linhas de U^{-1} são os coeficientes dos funcionais da base dual. Assim:
  • \varphi_1 corresponde à primeira linha (2,2,-1), ou seja, para x=(x_1,x_2,x_3),
\varphi_1(x)=2x_1+2x_2 - x_3.
  • \varphi_2 corresponde à segunda linha (1,2,-1), ou seja,
\varphi_2(x)=1\cdot x_1 + 2x_2 - x_3.
  • \varphi_3 corresponde à terceira linha (-1,-1,1), ou seja,
\varphi_3(x)=-x_1-x_2 + x_3.

Passo 7

Verificação rápida (mostro um exemplo de checagem): calcular \varphi_1(u_1):
\varphi_1(u_1)=2\cdot1 + 2\cdot0 - 1 = 2-1=1,
e \varphi_1(u_2)=2\cdot(-1)+2\cdot1-0= -2+2=0. Assim a primeira linha funciona como esperado; o mesmo vale para as outras por construção (pelo fato de formarem U^{-1}).

Resposta

\varphi_1(x_1,x_2,x_3)=2x_1+2x_2-x_3
\varphi_2(x_1,x_2,x_3)=x_1+2x_2-x_3
\varphi_3(x_1,x_2,x_3)=-x_1-x_2+x_3

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