Exercício 13. (Apostol seção 11.22 exercício 7) Seja f(x, y)=(Q(x, y),-P(x, y)) uma função de classe C^2 num aberto S. Seja C uma curva de Jordan contida junto com seu interior em S. Mostre que
integralC P d x+Q d y=integralClang<= f, nrang<= d s

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a curva simples fechada C orientada positivamente (contador-horário) e interior contido em S, vale
integralCP,dx+Q,dy ;=; integralCllang<= f,nrrang<=,ds,
onde f(x,y)=(Q(x,y),-P(x,y)) e n é a normal unitária exterior a C. Vamos usar uma parametrização de C e relacionar o vetor tangente r'(t) à normal exterior n(t).

Passo 2

Seja
r(t)=(x(t),y(t)), tin[a,b],
uma parametrização de C tal que o percurso seja feito no sentido anti-horário. Então o vetor tangente é
r'(t)=(x'(t),y'(t))
e o elemento de comprimento é ds=lvert r'(t)rvert,dt. Como a orientação é positiva, uma normal exterior (unitária) a C é
n(t) =l(y'(t),, -,x'(t)r)lvert r'(t)rvert

Passo 3

Na parametrização, o integral de linha do lado esquerdo fica
integralCP,dx+Q,dy =integrala^bl[Pl(x(t),y(t)r),x'(t) +Ql(x(t),y(t)r),y'(t)r],dt

Passo 4

Já o lado direito é
integralClang<= f,nrang<=,ds =integrala^b l(Q,-Pr)!cdot!(y',-x')lvert r'rvert ;lvert r'rvert,dt =integrala^bl[Q,y'-P,( -x')r],dt =integrala^bl[P,x'+Q,y'r],dt

Passo 5

Como os integrandos coincidem em integrala^b[P,x'+Q,y'],dt, concluímos que
integralCP,dx+Q,dy =integralClang<= f,nrang<=,ds

Resposta

A igualdade exigida está demonstrada.

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