Exercício 13. (Apostol seção 11.22 exercício 7) Seja
uma função de classe
num aberto
. Seja
uma curva de Jordan contida junto com seu interior em
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a curva simples fechada
orientada positivamente (contador-horário) e interior contido em
, vale
onde
e
é a normal unitária exterior a
. Vamos usar uma parametrização de
e relacionar o vetor tangente
à normal exterior
.
Passo 2
Seja
uma parametrização de
tal que o percurso seja feito no sentido anti-horário. Então o vetor tangente é
e o elemento de comprimento é
. Como a orientação é positiva, uma normal exterior (unitária) a
é
Passo 3
Na parametrização, o integral de linha do lado esquerdo fica
Passo 4
Já o lado direito é
Passo 5
Como os integrandos coincidem em
, concluímos que
Resposta
A igualdade exigida está demonstrada.