Determine a transformada de Fourier de
g(t)=t G_{1}(t-0.5)+(2-t) G_{2}(t-2)+(t-4) G_{1}(t-3.5) .

Passo 1

O enunciado dá a função
g(t)=t\,G_{1}(t-0.5)+(2-t)\,G_{2}(t-2)+(t-4)\,G_{1}(t-3.5),
e pede: determinar a transformada de Fourier de g(t).
Informações relevantes que temos (explicitadas para poder usar depois):
  • G_{1}(t) e G_{2}(t) são funções no tempo cujo suporte/forma não são necessárias explicitamente; vamos usar as transformadas delas que eu vou denotar por \mathcal{G}_{1}(\omega) e \mathcal{G}_{2}(\omega), ou seja
\mathcal{G}_{1}(\omega)=\mathcal{F}\{G_{1}(t)\},\qquad \mathcal{G}_{2}(\omega)=\mathcal{F}\{G_{2}(t)\}.
  • A missão é escrever \mathcal{F}\{g(t)\} em função de \mathcal{G}_{1}(\omega) e \mathcal{G}_{2}(\omega).
    Não se pede cálculo numérico nem uso de uma convenção alternativa; vou adotar a convenção padrão
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.

Passo 2

Vou relembrar e provar rapidamente as propriedades que vou usar (assim você aprende a aplicá‑las na prova):
  1. Linearidade: a transformada é linear, ou seja
\mathcal{F}\{a f(t)+b h(t)\}=a\,\mathcal{F}\{f(t)\}+b\,\mathcal{F}\{h(t)\},
para constantes a,b. Isso é óbvio pela definição integral somando integrais.
  1. Deslocamento no tempo (time-shift): se f(t)\leftrightarrow F(\omega) então
\mathcal{F}\{f(t-t_{0})\} = e^{-i\omega t_{0}}\,F(\omega).
Prova curta: faça a mudança de variável u=t-t_{0} em \int f(t-t_{0})e^{-i\omega t}dt e obtém o fator e^{-i\omega t_{0}}.
  1. Multiplicação por t (derivada no domínio da frequência): se f(t)\leftrightarrow F(\omega), então
\mathcal{F}\{t\,f(t)\} = i\,\frac{d}{d\omega}F(\omega).
Prova curta: diferencie F(\omega)=\int f(t)e^{-i\omega t}dt em relação a \omega:
\frac{d}{d\omega}F(\omega)=\int f(t)\frac{d}{d\omega}e^{-i\omega t}dt =\int f(t)(-i t)e^{-i\omega t}dt=-i\mathcal{F}\{t f(t)\},
daí \mathcal{F}\{t f(t)\}=i\,\frac{d}{d\omega}F(\omega).
Essas três propriedades (linearidade, shift e derivada) são as ferramentas-chave para resolver a questão passo a passo.

Passo 3

Transformada do primeiro termo t\,G_{1}(t-0.5).
Primeiro reescrevo para separar a parte relativa ao deslocamento: faça a mudança u=t-0.5. Então t=u+0.5 e
t\,G_{1}(t-0.5) = (u+0.5)\,G_{1}(u) = u\,G_{1}(u) + 0{,}5\,G_{1}(u).
Aplicando transformada e a propriedade de deslocamento (já que a função escrita em u corresponde a G_{1}(t) deslocada por 0{,}5 quando voltamos a t), obtemos
\mathcal{F}\{t\,G_{1}(t-0.5)\} = e^{-i\omega(0{,}5)}\left[ \mathcal{F}\{u\,G_{1}(u)\} + 0{,}5\,\mathcal{F}\{G_{1}(u)\} \right].
Agora uso a propriedade de multiplicação por u (que é análoga à de t): \mathcal{F}\{u\,G_{1}(u)\}=i\,\dfrac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{1}(\omega). Também \mathcal{F}\{G_{1}(u)\}=\mathcal{G}_{1}(\omega). Assim
\mathcal{F}\{t\,G_{1}(t-0.5)\} = e^{-i\omega/2}\left[ i\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{1}(\omega) + 0{,}5\,\mathcal{G}_{1}(\omega) \right].

Passo 4

Transformada do segundo termo (2-t)\,G_{2}(t-2).
Faço a mudança u=t-2, então t=u+2 e 2-t = 2-(u+2) = -u. Logo
(2-t)\,G_{2}(t-2) = -u\,G_{2}(u).
Aplicando transformada e o deslocamento:
\mathcal{F}\{(2-t)\,G_{2}(t-2)\} = -e^{-i\omega 2}\,\mathcal{F}\{u\,G_{2}(u)\}.
Usando a propriedade de multiplicação por u:
\mathcal{F}\{u\,G_{2}(u)\} = i\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{2}(\omega).
Portanto
\mathcal{F}\{(2-t)\,G_{2}(t-2)\} = -\,e^{-i2\omega}\,i\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{2}(\omega) = -\,i\,e^{-i2\omega}\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{2}(\omega).

Passo 5

Transformada do terceiro termo (t-4)\,G_{1}(t-3.5).
Faço u=t-3.5, então t=u+3.5 e t-4=(u+3.5)-4 = u-0{,}5. Assim
(t-4)\,G_{1}(t-3.5) = (u-0{,}5)\,G_{1}(u) = u\,G_{1}(u) - 0{,}5\,G_{1}(u).
Aplicando transformada com deslocamento:
\mathcal{F}\{(t-4)\,G_{1}(t-3.5)\} = e^{-i\omega 3{,}5}\left[ \mathcal{F}\{u\,G_{1}(u)\} - 0{,}5\,\mathcal{F}\{G_{1}(u)\} \right].
Usando a regra \mathcal{F}\{u\,G_{1}(u)\} = i\,\dfrac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{1}(\omega), obtemos
\mathcal{F}\{(t-4)\,G_{1}(t-3.5)\} = e^{-i3{,}5\omega}\left[ i\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{1}(\omega) - 0{,}5\,\mathcal{G}_{1}(\omega) \right].

Passo 6

Somando as transformadas dos três termos (linearidade) obtemos a transformada de g(t):
\mathcal{F}\{g(t)\}(\omega) = e^{-i\omega/2}\!\left[ i\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{1}(\omega) + 0{,}5\,\mathcal{G}_{1}(\omega) \right] - i\,e^{-i2\omega}\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{2}(\omega) + e^{-i3{,}5\omega}\!\left[ i\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{1}(\omega) - 0{,}5\,\mathcal{G}_{1}(\omega) \right].
Podemos organizar por termos envolvendo \mathcal{G}_{1} e \mathcal{G}_{2}:
\mathcal{F}\{g\}(\omega)= i\!\left(e^{-i\omega/2}+e^{-i3{,}5\omega}\right)\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{1}(\omega) +0{,}5\!\left(e^{-i\omega/2}-e^{-i3{,}5\omega}\right)\mathcal{G}_{1}(\omega) - i\,e^{-i2\omega}\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{2}(\omega).
Essa expressão já é a transformada de Fourier procurada, escrita em função de \mathcal{G}_{1}(\omega) e \mathcal{G}_{2}(\omega).

Resposta

\mathcal{F}\{g\}(\omega)= i\!\left(e^{-i\omega/2}+e^{-i3{,}5\omega}\right)\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{1}(\omega) +0{,}5\!\left(e^{-i\omega/2}-e^{-i3{,}5\omega}\right)\mathcal{G}_{1}(\omega) - i\,e^{-i2\omega}\frac{d}{d\omega}\mathcal{G}_{2}(\omega).

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