Determine a transformada de Fourier de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar a transformada de Fourier de
.
Informações relevantes que temos (explicitadas para poder usar depois):
Informações relevantes que temos (explicitadas para poder usar depois):
-
e são funções no tempo cujo suporte/forma não são necessárias explicitamente; vamos usar as transformadas delas que eu vou denotar por e , ou seja
- A missão é escrever
em função de e .
Não se pede cálculo numérico nem uso de uma convenção alternativa; vou adotar a convenção padrão
Passo 2
Vou relembrar e provar rapidamente as propriedades que vou usar (assim você aprende a aplicá‑las na prova):
- Linearidade: a transformada é linear, ou seja
para constantes
. Isso é óbvio pela definição integral somando integrais.
- Deslocamento no tempo (time-shift): se
então
Prova curta: faça a mudança de variável
em
e obtém o fator
.
- Multiplicação por
(derivada no domínio da frequência): se , então
Prova curta: diferencie
em relação a
:
daí
.
Essas três propriedades (linearidade, shift e derivada) são as ferramentas-chave para resolver a questão passo a passo.
Passo 3
Transformada do primeiro termo
.
Primeiro reescrevo para separar a parte relativa ao deslocamento: faça a mudança
. Então
e
Aplicando transformada e a propriedade de deslocamento (já que a função escrita em
corresponde a
deslocada por
quando voltamos a
), obtemos
Agora uso a propriedade de multiplicação por
(que é análoga à de
):
. Também
. Assim
Passo 4
Transformada do segundo termo
.
Faço a mudança
, então
e
. Logo
Aplicando transformada e o deslocamento:
Usando a propriedade de multiplicação por
:
Portanto
Passo 5
Transformada do terceiro termo
.
Faço
, então
e
. Assim
Aplicando transformada com deslocamento:
Usando a regra
, obtemos
Passo 6
Somando as transformadas dos três termos (linearidade) obtemos a transformada de
:
Podemos organizar por termos envolvendo
e
:
Essa expressão já é a transformada de Fourier procurada, escrita em função de
e
.