Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Prove que
;
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subconjuntos de um conjunto
e pede para provar que
Informações relevantes que temos:
é um subconjunto de
e
é o conjunto vazio (não contém elementos). A pergunta é exatamente provar a igualdade acima.
Passo 2
Vou lembrar as definições que vamos usar, explicando como se aplicam passo a passo.
Definição de interseção: para quaisquer conjuntos
e
contidos em
,
Isto significa que um elemento está em
exatamente quando pertence simultaneamente a
e a
.
Definição do conjunto vazio:
é o conjunto que não tem elementos. Formalmente, não existe nenhum
tal que
.
Essas duas definições são tudo que precisamos.
Passo 3
Estratégia de prova: provar uma igualdade de conjuntos por dupla inclusão. Ou seja, mostrar primeiro
e depois
Se ambas inclusões valem, então os conjuntos são iguais.
Passo 4
Prova da inclusão
.
Pegue um elemento arbitrário
e suponha
. Pela definição de interseção, isso significa que
e
. Mas pela definição do conjunto vazio não existe nenhum elemento
tal que
; em particular, é impossível que
. Isso é uma contradição com a suposição
. Logo não existe nenhum
com
. Portanto, todo elemento de
pertence a
— na prática, não há elementos — e assim
Passo 5
Prova da inclusão
.
Por definição de subconjunto, precisamos mostrar: para todo
, se
então
. Mas a hipótese
nunca ocorre (porque
não tem elementos). Uma implicação com antecedente sempre falso é verdadeira (isso se chama verdade vacuamente). Portanto, a condição "se
então
" vale para todo
, e assim
Passo 6
Conclusão pela dupla inclusão: como mostramos
e
segue que