Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Prove que
A \cap \varnothing=\varnothing;

Passo 1

O enunciado dá que A, B e C são subconjuntos de um conjunto X e pede para provar que
A \cap \varnothing = \varnothing.
Informações relevantes que temos: A é um subconjunto de X e \varnothing é o conjunto vazio (não contém elementos). A pergunta é exatamente provar a igualdade acima.

Passo 2

Vou lembrar as definições que vamos usar, explicando como se aplicam passo a passo.
Definição de interseção: para quaisquer conjuntos S e T contidos em X,
S \cap T = \{x\in X \mid x\in S \text{ e } x\in T\}.
Isto significa que um elemento está em S\cap T exatamente quando pertence simultaneamente a S e a T.
Definição do conjunto vazio: \varnothing é o conjunto que não tem elementos. Formalmente, não existe nenhum x\in X tal que x\in\varnothing.
Essas duas definições são tudo que precisamos.

Passo 3

Estratégia de prova: provar uma igualdade de conjuntos por dupla inclusão. Ou seja, mostrar primeiro
A\cap\varnothing \subseteq \varnothing
e depois
\varnothing \subseteq A\cap\varnothing.
Se ambas inclusões valem, então os conjuntos são iguais.

Passo 4

Prova da inclusão A\cap\varnothing \subseteq \varnothing.
Pegue um elemento arbitrário x e suponha x\in A\cap\varnothing. Pela definição de interseção, isso significa que x\in A e x\in\varnothing. Mas pela definição do conjunto vazio não existe nenhum elemento y tal que y\in\varnothing; em particular, é impossível que x\in\varnothing. Isso é uma contradição com a suposição x\in A\cap\varnothing. Logo não existe nenhum x com x\in A\cap\varnothing. Portanto, todo elemento de A\cap\varnothing pertence a \varnothing — na prática, não há elementos — e assim
A\cap\varnothing \subseteq \varnothing.

Passo 5

Prova da inclusão \varnothing \subseteq A\cap\varnothing.
Por definição de subconjunto, precisamos mostrar: para todo x, se x\in\varnothing então x\in A\cap\varnothing. Mas a hipótese x\in\varnothing nunca ocorre (porque \varnothing não tem elementos). Uma implicação com antecedente sempre falso é verdadeira (isso se chama verdade vacuamente). Portanto, a condição "se x\in\varnothing então x\in A\cap\varnothing" vale para todo x, e assim
\varnothing \subseteq A\cap\varnothing.

Passo 6

Conclusão pela dupla inclusão: como mostramos
A\cap\varnothing \subseteq \varnothing
e
\varnothing \subseteq A\cap\varnothing,
segue que
A\cap\varnothing = \varnothing.

Resposta

A\cap\varnothing=\varnothing

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