Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
f(x)=x e^{-a x} u_{0}(x), a>0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(x)=x e^{-a x}u_{0}(x),\quad a>0,
onde u_{0}(x) é o degrau de Heaviside que vale 0 para x<0 e 1 para x\ge0. Vamos usar a definição clássica
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx
e reconhecer a integral como uma forma de integral de Laplace.

Passo 2

Como f(x)=0 para x<0, a transformada vira
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{0}^{\infty}x e^{-a x}e^{-i\omega x}\,dx =\int_{0}^{\infty}x\,e^{-(a+i\omega)x}\,dx.

Passo 3

Usamos o resultado padrão
\int_{0}^{\infty}x\,e^{-s x}\,dx=\frac{1}{s^{2}},\quad \Re(s)>0.
Aqui basta tomar s=a+i\omega, cujo parte real é a>0. Logo
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{1}{(a+i\omega)^{2}}.

Resposta

\mathcal{F}\{x e^{-a x}u_{0}(x)\}(\omega) =\frac{1}{(a+i\omega)^{2}}.

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