QUESTÃO 4 - Calcule o divergente e o rotacional das seguintes funções
Na prova vai ser uma alternativa desse tipo só.
\vec{f}(x, y, z)=\left(x^{2} ; x y z ; y\right)

Passo 1

O enunciado pede o divergente e o rotacional da função vetorial \vec f(x,y,z)=(x^2,\;x y z,\;y).
Vamos usar as fórmulas
\nabla\cdot \vec f = \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z},
\nabla\times \vec f = \Bigl(\frac{\partial f_3}{\partial y}-\frac{\partial f_2}{\partial z},\;\frac{\partial f_1}{\partial z}-\frac{\partial f_3}{\partial x},\;\frac{\partial f_2}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Calcular o divergente: \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{\partial(x^2)}{\partial x}=2x, \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial y}=\frac{\partial(x\,y\,z)}{\partial y}=x\,z, \displaystyle \frac{\partial f_3}{\partial z}=\frac{\partial(y)}{\partial z}=0.
Logo,
\nabla\cdot \vec f = 2x + xz + 0 = 2x + xz.

Passo 3

Calcular o rotacional componente a componente:
— Componente i:
\frac{\partial f_3}{\partial y}-\frac{\partial f_2}{\partial z} = 1 - (x y) = 1 - x y.
— Componente j:
\frac{\partial f_1}{\partial z}-\frac{\partial f_3}{\partial x} = 0 - 0 = 0.
— Componente k:
\frac{\partial f_2}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y} = y z - 0 = y z.
Portanto,
\nabla\times \vec f = (\,1 - x y,\;0,\;y z\,).

Resposta

Divergente: 2x + xz
Rotacional: (1 - x y,\;0,\;y z)

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