Questão 2. Seja
.
(a) Mostre que
satisfaz a equação diferencial
.
(b) Aplique a transformada de Fourier na equação diferencial do item anterior obtendo
(c) Resolva a equação diferencial do item anterior e encontre que
(d) Usando o fato de que
mostre que
(e) Use o item anterior para mostrar que
(f) Usando o item anterior encontre
e
, para $a>0.
(a) Mostre que
(b) Aplique a transformada de Fourier na equação diferencial do item anterior obtendo
Passo 1
O enunciado define
e pede, em sequência:
– (a) mostrar que satisfaz a EDO
– (a) mostrar que
– (b) aplicar transformada de Fourier nessa EDO e obter
– (c) resolver essa EDO em
e achar
– (d) usar
para reescrever
– (e) separar parte real e imaginária para obter
– (f) finalmente usar propriedade de escala para generalizar a qualquer
.
Conteúdos envolvidos: EDO de primeira ordem, propriedades da transformada de Fourier (derivação e escala) e integrais de Fresnel.
Passo 2
(a) Calculamos
. Como
, pela regra da cadeia,
Logo
como queríamos.
Passo 3
(b) Aplicamos a transformada de Fourier (definida como
) em cada termo de
Usamos que
Então
Reescrevendo,
, ou seja
Passo 4
(c) A EDO em
é de primeira ordem e separável:
Integrando,
onde
.
Passo 5
(d) Pelo enunciado,
Logo
Distribuindo e usando
chegamos a
Passo 6
(e) Escrevendo
e comparando parte real e imaginária, obtemos
Passo 7
(f) Para
, usamos que
com
e
. A propriedade de escala diz
Assim
e analogamente
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) ,
.
(f) ,
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)