Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
f(x)=\operatorname{sen}(a x) \chi_{[-b, b]}(x)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(x)=\sin(a x)\,\chi_{[-b,b]}(x),
onde usamos a definição
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Para resolver, vamos:
  1. Decompor \sin(a x) em exponenciais complexas.
  2. Calcular o integral de cada termo exponencial sobre [-b,b].
  3. Combinar os resultados.

Passo 2

Usando a identidade de Euler,
\sin(a x)=\frac{e^{i\,a x}-e^{-i\,a x}}{2i},
temos
f(x)=\frac{1}{2i}\Bigl(e^{i a x}-e^{-i a x}\Bigr)\chi_{[-b,b]}(x).
Logo,
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{1}{2i}\int_{-b}^{b}\Bigl(e^{i a x}-e^{-i a x}\Bigr)e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 3

Separe em dois integrals:
I_1=\int_{-b}^{b}e^{i a x}e^{-i\omega x}\,dx =\int_{-b}^{b}e^{-i(\omega -a)x}\,dx,
I_2=\int_{-b}^{b}e^{-i a x}e^{-i\omega x}\,dx =\int_{-b}^{b}e^{-i(\omega +a)x}\,dx.
Cada um é um integral de exponencial constante:
\int_{-b}^{b}e^{-i\alpha x}\,dx =\Bigl[\frac{e^{-i\alpha x}}{-i\alpha}\Bigr]_{-b}^{b} =\frac{e^{-i\alpha b}-e^{i\alpha b}}{-i\alpha} =\frac{2\sin(\alpha b)}{\alpha}.
Então
I_1=\frac{2\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a}, \quad I_2=\frac{2\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}.

Passo 4

Substituindo I_1 e I_2 em \mathcal{F}\{f\}(\omega):
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{1}{2i}\Bigl(I_1 - I_2\Bigr) =\frac{1}{2i}\Biggl(\frac{2\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a} -\frac{2\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}\Biggr).
Simplificando:
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{1}{i}\Biggl(\frac{\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a} -\frac{\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}\Biggr).

Resposta

\boxed{ \mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{1}{i}\Biggl(\frac{\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a} -\frac{\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}\Biggr). }

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