Questão 2. Seja
f(x)=e^{i x^{2}}=\cos \left(x^{2}\right)+i \operatorname{sen}\left(x^{2}\right).
(a) Mostre que
f(x) satisfaz a equação diferencial
f^{\prime}(x)-i 2 x f(x)=0.
(b) Aplique a transformada de Fourier na equação diferencial do item anterior obtendo
\hat{f}^{\prime}(\omega)-\frac{\omega}{2 i} \hat{f}(\omega)=0 .
(c) Resolva a equação diferencial do item anterior e encontre que
\hat{f}(\omega)=\hat{f}(0) e^{-i \frac{\omega^{2}}{4}}
(d) Usando o fato de que
\hat{f}(0)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i x^{2}} d x=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}
mostre que
\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left[\cos \left(\frac{\omega^{2}}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i \cos \left(\frac{\omega^{2}}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\right] .
(e) Use o item anterior para mostrar que
\begin{aligned} & \mathcal{F}\left(\cos \left(x^{2}\right)\right)(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\omega^{2}}{4}-\frac{\pi}{4}\right) \\\ & \mathcal{F}\left(\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right)(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\omega^{2}}{4}+\frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}
(f) Usando o item anterior encontre
\mathcal{F}\left(\cos \left(a x^{2}\right)\right)(\omega) e
\mathcal{F}\left(\operatorname{sen}\left(a x^{2}\right)\right)(\omega), para $a>0.