Questão 3. Determine as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujas Transformadas de Fourier são dadas.
\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(3+i \omega)(4+i \omega)}

Passo 1

O enunciado quer encontrar a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} cuja Transformada de Fourier (no sentido
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
) é
\hat f(\omega)=\frac{1}{(3+i\omega)(4+i\omega)}.
O que precisamos é usar a fórmula de inversão
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega
e reconhecer integrais do tipo \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{i\omega t}}{a+i\omega}\,d\omega=2\pi e^{-a t}u(t) (para a>0).

Passo 2

Fazemos frações parciais em \displaystyle\frac{1}{(3+i\omega)(4+i\omega)}. Seja x=i\omega. Então
\frac{1}{(3+x)(4+x)} =\frac{1}{3+x}-\frac{1}{4+x},
pois \,(3+x)-(4+x)=-1 e inverte o sinal no segundo termo. Voltando a x=i\omega,
\hat f(\omega) =\frac{1}{3+i\omega}-\frac{1}{4+i\omega}.

Passo 3

Substituímos na inversão:
f(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\Bigl[\frac{1}{3+i\omega}-\frac{1}{4+i\omega}\Bigr]e^{i\omega t}d\omega
e separamos em duas integrais. Para cada a>0 vale
\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{i\omega t}}{a+i\omega}\,d\omega =2\pi\,e^{-a t}\,u(t),
onde u(t) é a função degrau de Heaviside.

Passo 4

Aplicando para a=3 e a=4:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{i\omega t}}{3+i\omega}\,d\omega =e^{-3t}u(t), \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{i\omega t}}{4+i\omega}\,d\omega =e^{-4t}u(t).
Logo,
f(t) =e^{-3t}u(t)\;-\;e^{-4t}u(t) =\bigl(e^{-3t}-e^{-4t}\bigr)\,u(t).

Resposta

f(t)=\bigl(e^{-3t}-e^{-4t}\bigr)\,u(t),
onde u(t) é o degrau unitário.

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