Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada de Fourier do sinal $ z(t) = \cos^{2}(10\pi t) \cdot \operatorname{sinc}(t) $. Aqui, estamos lidando com Transformadas de Fourier, que são usadas pra transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas e fórmulas de identidade trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte da cos² usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso sinal:
Então, nosso sinal fica:
Passo 3
Agora, vamos distribuir a multiplicação:
Isso nos dá dois termos para a transformada de Fourier.
Passo 4
Vamos lembrar que a transformada de Fourier da
é uma função retangular. Especificamente:
Onde
é igual a 1 para
e 0 caso contrário.
Passo 5
Para o segundo termo, temos a multiplicação de
com
. Sabemos que multiplicar no domínio do tempo equivale a uma convolução no domínio da frequência. Mas existe uma propriedade útil aqui: a transformação de uma cosenoidal.
A transformada de
é:
Onde
é a transformada de
.
Passo 6
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde
Hz (já que
), temos:
Substituindo a transformada da
:
Passo 7
Agora, juntando os dois termos que obtivemos:
Simplificando:
Resposta
A transformada de Fourier do sinal $ z(t) = \cos^{2}(10\pi t) \cdot \operatorname{sinc}(t) $ é: