Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
z(t)=cos ^2(10 pi t) sinc(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada de Fourier do sinal $ z(t) = \cos^{2}(10\pi t) \cdot \operatorname{sinc}(t) $. Aqui, estamos lidando com Transformadas de Fourier, que são usadas pra transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas e fórmulas de identidade trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da cos² usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
cos^2(A) = 1 + cos(2A)2
Aplicando isso ao nosso sinal:
cos^2(10pi t) = 1 + cos(20pi t)2
Então, nosso sinal fica:
z(t) = 1 + cos(20pi t)2 cdot sinc(t)

Passo 3

Agora, vamos distribuir a multiplicação:
z(t) = 12 cdot sinc(t) + 12 cos(20pi t) cdot sinc(t)
Isso nos dá dois termos para a transformada de Fourier.

Passo 4

Vamos lembrar que a transformada de Fourier da sinc(t) é uma função retangular. Especificamente:
Fsinc(t) = pi cdot rect(f2)
Onde rect(f2) é igual a 1 para |f| <= 1 e 0 caso contrário.

Passo 5

Para o segundo termo, temos a multiplicação de cos(20pi t) com sinc(t). Sabemos que multiplicar no domínio do tempo equivale a uma convolução no domínio da frequência. Mas existe uma propriedade útil aqui: a transformação de uma cosenoidal.
A transformada de cos(2pi f0 t) cdot x(t) é:
12 [ X(f - f0) + X(f + f0) ]
Onde X(f) é a transformada de x(t).

Passo 6

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde f0 = 10 Hz (já que 20pi t = 2pi cdot 10 t), temos:
Fcos(20pi t) cdot sinc(t) = 12 [ Fsinc(t)(f - 10) + Fsinc(t)(f + 10) ]
Substituindo a transformada da sinc(t):
= 12 [ pi cdot rect(f - 102) + pi cdot rect(f + 102) ]

Passo 7

Agora, juntando os dois termos que obtivemos:
Fz(t) = 12 cdot pi cdot rect(f2) + 12 cdot pi2 [ rect(f - 102) + rect(f + 102) ]
Simplificando:
= pi2 cdot rect(f2) + pi4 [ rect(f - 102) + rect(f + 102) ]

Resposta

A transformada de Fourier do sinal $ z(t) = \cos^{2}(10\pi t) \cdot \operatorname{sinc}(t) $ é:
z(t) = cos^2(10pi t) cdot sinc(t)

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